Si [matemáticas] x + \ frac {1} {x} = -1 [/ matemáticas], ¿cuál es el valor de [matemáticas] x ^ {99} + \ frac {1} {x ^ {99}} [ /matemáticas]?

Answer 1

Simplificamos la ecuación [matemática] x \, + \, \ dfrac {1} {x} \, = \, – 1 [/ matemática], para obtener [matemática] x ^ 2 \, + \, x \, + \, 1 \, = \, 0 [/ matemáticas]. Podemos resolver esta ecuación para obtener [matemáticas] \, x \, = \, – 1+ \ dfrac {\ sqrt {-3}} {2} \ ,, \, – 1- \ dfrac {\ sqrt {-3 }} {2} [/ matemáticas]. Los valores son, por supuesto, complejos. Si conoce bien las raíces cúbicas de la unidad, puede ver fácilmente que estos valores son las raíces cúbicas complejas de la unidad, denotadas por [math] \ omega [/ math] y [matemáticas] {\ omega} ^ 2 [/ matemáticas]. Se obtienen como segunda y tercera raíz cuando resuelve la ecuación [matemáticas] x ^ 3 \, = \, 1 [/ matemáticas] para obtener las raíces cúbicas de la unidad (la primera raíz es [matemáticas] 1 [/ matemáticas]) . Cualquiera de ellos puede ser denotado por [math] \ omega [/ math], el otro será cuadrado (compruébelo usted mismo). El cubo de cada uno de ellos es igual a [matemáticas] 1 [/ matemáticas] (compruébelo usted mismo).

Recuerde que [math] \ omega [/ math], [math] {\ omega} ^ 2 [/ math] son las raíces complejas del cubo de la unidad, y por lo tanto su cubo será igual a [math] 1 [/ math].

Entonces, hemos obtenido las raíces de la ecuación [matemáticas] x ^ 2 \, + \, x \, + 1 \, = \, 0 [/ matemáticas] como [matemáticas] x \, = \, \ omega \, , \, {\ omega} ^ 2 \, \, [/ math] con el cubo de cada uno de ellos igual a [math] 1 [/ math]. Cualquiera de estos dos valores puede ser sustituido en la ecuación.

Usando los hechos anteriores, escribimos [matemáticas] x ^ {99} \, + \, \ dfrac {1} {x ^ {99}} [/ matemáticas] [matemáticas] = \, {\ omega} ^ {99} \, + \, \ dfrac {1} {{\ omega} ^ {99}} \, = \, \ left ({\ omega} ^ 3 \ right) ^ {33} \, + \, \ dfrac {1 } {\ left ({\ omega} ^ 3 \ right) ^ {33}} \, = \, (1) ^ {33} \, + \, \ dfrac {1} {(1) ^ {33}} \, = \, 1 \, + \, 1 \, = \, 2 [/ math]. Resp.

Puede verificar que obtengamos la misma respuesta cuando [math] {\ omega} ^ 2 [/ math] se usa en lugar de [math] \ omega [/ math] para [math] x [/ math].

Answer 2

@Cibin Joseph ya proporciona la solución con números complejos, que es el mejor método para resolver esto. En caso de que uno no sepa (!) De álgebra compleja, hay otra manera de resolver esto:

[matemáticas] x + \ frac {1} {x} = -1 [/ matemáticas]

Sqauring,

[matemáticas] x ^ 2 + \ frac {1} {x ^ 2} = -1 ……………… .. (1) [/ matemáticas]

Similar,

[matemáticas] x ^ 3 + \ frac {1} {x ^ 3} = 2 ………………. (2) [/ matemáticas]

Multiplicar (1) y (2)

[matemáticas] x ^ 5 + \ frac {1} {x ^ 5} = -1 ……………… .. (3) [/ matemáticas]

y cuadratura (2)

[matemáticas] x ^ 6 + \ frac {1} {x ^ 6} = 2 ………………… .. (4) [/ matemáticas]

Ahora

[matemáticas] \ left (x ^ 6 + \ frac {1} {x ^ 6} \ right) \ left (x ^ 5 + \ frac {1} {x ^ 5} \ right) = x ^ {11} + \ frac {1} {x ^ {11}} + x + \ frac {1} {x} = – 2 [/ matemáticas]

Lo que da [matemáticas] x ^ {11} + \ frac {1} {x ^ {11}} = – 1 …………. (5) [/ matemáticas]

Ahora cubica esta expresión para obtener [matemática] \ left (x ^ {33} + \ frac {1} {x ^ {33}} \ right) = 2 [/ math]

Cubing nuevamente da el resultado final,

[matemáticas] x ^ {99} + \ frac {1} {x ^ {99}} = 2 [/ matemáticas]

Answer 3

[matemáticas] x + 1 / x = -1 [/ matemáticas]

Da la ecuación cuadrática,

[matemáticas] x ^ 2 + x + 1 = 0 [/ matemáticas]

Resolver la ecuación da el valor de x,

[matemáticas] x = \ frac {-1} {2} \ pm i \ frac {\ sqrt {3}} {2} [/ matemáticas]

A partir de aquí, puedo pensar en dos enfoques,

Enfoque 1:

Reconozca esto como una de las raíces cúbicas de la unidad, es decir, [matemáticas] x ^ 3 = 1 [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemáticas] x ^ {99} + \ frac {1} {x ^ {99}} = [/ matemáticas] [matemáticas] x ^ {3 \ times33} + \ frac {1} {x ^ {3 \ veces 33}} [/ matemáticas] [matemáticas] = 1 ^ {33} + 1 ^ {33} = 2 [/ matemáticas]

Enfoque 2:

La solución [matemáticas] x [/ matemáticas] también se puede escribir como,

[matemáticas] x = \ cos {\ theta} + i \ sin {\ theta} = e ^ {i \ theta} [/ matemáticas]

donde [matemáticas] \ theta = \ pm 120 ^ {o} = \ pm \ frac {2 \ pi} {3} [/ matemáticas]

Sustituyendo en x,

[matemáticas] e ^ {i66 \ pi} + e ^ {- i66 \ pi} = 2 \ times \ cos {66 \ pi} = 2 [/ matemáticas]

ya que cualquier múltiplo par de [math] \ pi [/ math] es [math] 1. [/ math]

PD. Me gusta complicar las cosas, dice mi ex. 😛

Answer 4

La respuesta es 2.
Tan simple como eso

Answer 5

la respuesta de esta pregunta es 2

x ^ 2 + 1 = -x

x ^ 2 + x + 1 = 0

(x-1) (x ^ 2 + x + 1) = 0 (esta es la identidad de (x ^ 3-1 ^ 3))

x ^ 3-1 = 0

x ^ 3 = 1

luego pon el valor de x ^ 3 en la pregunta

(x ^ 3) ^ 33 + 1 / (x ^ 3) ^ 33 = 2

Answer 6

x ^ 2 + x + 1 = 0

tiene raíces w y w ^ 2, donde w es la raíz del cubo no real de la unidad y w ^ 3 = 1

por lo tanto la respuesta es 2