¿Existe un cálculo bastante corto para la integral definida [matemáticas] \ int_0 ^ {2 \ pi} \ frac {r- \ cos (t)} {r ^ 2-2r \ cos (t) +1} dt, \ r \ neq 1, r> 0 [/ matemáticas]?

Answer 1

Tenga en cuenta que, suponiendo que [math] r [/ math] tenga un valor real,

[matemáticas] \ frac {r- \ cos {t}} {r ^ 2-2r \ cos {t} +1} [/ matemáticas]

es la parte real de

[matemáticas] A (t) = \ frac {re ^ {it}} {r ^ 2-2r \ cos {t} +1}. [/ matemáticas]

Podemos reescribir este denominador como

[matemáticas] A (t) = \ frac {re ^ {it}} {| re ^ {it} | ^ 2}. [/ math]

Escribiendo el producto en el denominador y cancelando, encontramos

[matemáticas] A (t) = \ frac {1} {re ^ {- it}}. [/ matemáticas]

Por lo tanto, la integral que desea calcular es la parte real de la siguiente integral.

[matemáticas] B (r) = \ int_0 ^ {2 \ pi} \ frac {1} {re ^ {- it}} dt. [/ matemáticas]

Podemos integrar esto usando la fórmula integral de Cauchy. Usaremos el cambio de variables [math] z = e ^ {it} [/ math], y denotaremos el círculo unitario por [math] C [/ math]. Tenga en cuenta que [math] dz = ie ^ {it} dt = izdt [/ math]. La [matemática] B (r) [/ matemática] se convierte en,

[matemáticas] B (r) = \ frac {1} {i} \ int_C \ frac {1} {z (rz)} dz. [/ matemáticas]

Usando fracciones parciales podemos ver que

[matemáticas] \ frac {1} {z (rz)} = \ frac {1} {rz} + \ frac {1} {r (rz)}, [/ matemáticas]

así que eso

[matemáticas] irB (r) = \ int_C \ frac {1} {z} dz + \ int_C \ frac {1} {rz}. [/ matemáticas]

La primera integral es [matemática] 2 \ pi i [/ matemática], y la segunda es [matemática] 2 \ pi i [/ matemática] si [matemática] | r | 1 [/ math]. Por lo tanto, para [matemáticas] | r | <1, [/ matemáticas]

[matemáticas] B (r) = \ frac {4 \ pi} {r}, [/ matemáticas]

y para [matemáticas] | r |> 1 [/ matemáticas],

[matemáticas] B (r) = \ frac {2 \ pi} {r}. [/ matemáticas]

Como ya es un número real, es igual al valor de la integral que deseaba.

Answer 2

Esto es proporcional a a (constante – cos t) dividido por (otra constante – cos t). Se puede dividir en un término constante + const / (const-cos t). La sustitución u = tan (t / 2) es una forma de hacer esto.

Además, como cos t tiene el período 2pi, puede cambiar el rango de -pi a pi y sustituir u = pi-t en la primera integral que cambia el signo de los términos del coseno. Esto podría o no ayudar.