Cómo encontrar [math] \ displaystyle \ prod_ {r = 1} ^ {\ infty} (1- \ frac {1} {\ sqrt {r + 1}}) [/ math]

Answer 1

Se encuentra el producto de un producto infinito de números positivos, [matemática] \; \; \ Pi_ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} \; \; [/ matemática]

dejando que [matemáticas] \; \; n \; \; [/ matemáticas] tienden al infinito en el producto parcial [matemáticas] \; \; P (n) \; = \ Pi_ {j = 1} ^ {j = n} \; \; [/ math] de los primeros factores [math] \; \; n \; \; [/ math].

Aquí tenemos [math] \; \; a_ {j} \; = \; 1 \; – \; \ frac {1} {\ sqrt {j + 1}} \; \; [/ math] que está acotado por 0 y 1.

Por lo tanto, [math] \; \; P (n) \; \; [/ math] también está delimitado por [math] \; \; 0 \; \; [/ math] y [math] \; \; 1 \;. \; [/ math]

Tenga en cuenta que el producto de los factores correspondientes a [matemáticas] \; \; j \; = \; 3 \;, \; 8 \;, \; 15 \;, \; 24 \ ;,…., \; M ^ {2} -1 \; \; [/ math] es [math] \; \; \; \ frac {1} {m} \; \; [/ math]

y este factor obliga al valor del producto parcial [math] \; \; P (n) \; \; [/ math] a permanecer limitado por [math] \; \; 0 \; \; [/ math] y [math] \; \; \ frac {1} {m} \ ;. \;[/matemáticas]

Por lo tanto, [math] \; \; P (n) \; \; [/ math] nunca puede exceder [math] \; \; \ frac {1} {m} \; \; [/ math] donde [math] \; \; m \; \; [/ math] es el mayor número entero tal que [math] \; \; (m + 1) ^ {2} \; \ le \; \; n \ ;. \;[/matemáticas]

Por lo tanto, [matemáticas] \; \; P (n) \; \ a \; 0 \; \; \; \ text {as} \; \; \; n \; \ to \; \; \ infty \ ;. [/matemáticas]

Esto muestra que el valor del producto infinito dado es cero.

Answer 2