Puede calcular el polinomio característico de su matriz [math] P_A (\ lambda) = \ det (A- \ lambda I) [/ math]. Como su matriz es una matriz Tridiagonal, existe una fórmula para calcular [matemáticas] P_A (\ lambda) [/ matemáticas]. De hecho, puede encontrar, según el enlace de Wikipedia, una recurrencia de [math] P_A (\ lambda) [/ math]. Denotaré por [math] d_n (\ lambda) [/ math] el polinomio característico [math] P_A (\ lambda) [/ math]
Para [matemáticas] n = 1 [/ matemáticas], [matemáticas] d_n (\ lambda) = (\ alpha_1- \ lambda). [/ math] Esto no tiene una raíz compleja ya que [math] \ alpha_1 [/ math] es real.
Para [matemáticas] n = 2 [/ matemáticas], [matemáticas] d_n (\ lambda) = (\ alpha_1- \ lambda) (\ alpha_2- \ lambda) – \ dfrac {b} {4}. [/ Matemáticas] Esto no tiene raíces complejas ya que el discriminante de este polinomio de segundo orden es igual a [math] (\ alpha_1- \ alpha_2) ^ 2 + b> 0 [/ math].
Para [matemáticas] n \ ge 3 [/ matemáticas], [matemáticas] d_ {n} (\ lambda) = (\ alpha_n- \ lambda) d_ {n-1} (\ lambda) – \ dfrac {1} {2 ^ n} d_ {n-2} (\ lambda) [/ math]
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Intente resolver esta recurrencia y demuestre que no hay [math] \ lambda [/ math], un número complejo, que satisfaga esta recurrencia.