Si G es un grupo con el miembro g y su inverso g ^ (- 1), ¿el inverso del inverso es necesariamente igual a g?

Answer 1

Si. Para demostrarlo, primero debe demostrar que la inversa de un elemento [math] x [/ math] del grupo es única.

Suponga que [matemática] y, z \ en G [/ matemática] son ​​ambas inversas de [matemática] x [/ matemática]. Entonces, si [math] e [/ math] es el elemento de identidad en su grupo, tiene:

[matemáticas] y = ye = y (xz) = (yx) z = ez = z [/ matemáticas]

entonces [math] y = z [/ math] y el inverso de [math] x [/ math] es único.

Ahora estamos interesados ​​en encontrar el inverso de [math] x ^ {- 1} [/ math]. Es decir, el inverso del inverso de [matemáticas] x [/ matemáticas].

Observe que debido a que [matemática] x ^ {- 1} [/ matemática] es el inverso de [matemática] x [/ matemática] usted tiene [matemática] e = xx ^ {- 1} = x ^ {- 1} x [ / math] y así [math] x [/ math] también es un inverso para [math] x ^ {- 1} [/ math] (esto puede parecer obvio pero hay que decirlo), y ya hemos demostrado que el El inverso de [matemáticas] x ^ {- 1} [/ matemáticas] es único.

Entonces podemos concluir que si [math] x ^ {- 1} [/ math] es el inverso de [math] x [/ math] entonces [math] x [/ math] es también el inverso de [math] x ^ {-1} [/ math] y son los elementos únicos en [math] G [/ math] con esta propiedad.

Answer 2

De hecho, la respuesta es sí: se puede demostrar que el inverso es único. Entonces, por definición de la inversa de g, obviamente es una inversa de [matemáticas] g ^ {- 1} [/ matemáticas] y, por lo tanto, la inversa por unicidad. Es un buen ejercicio demostrar que lo inverso es único, así que no lo haré aquí.

Answer 3

[matemáticas] e = (g ^ {- 1}) ^ {- 1} g ^ {- 1} \ implica [/ matemáticas]

[matemáticas] g = eg = ((g ^ {- 1}) ^ {- 1} g ^ {- 1}) g = (g ^ {- 1}) ^ {- 1} (g ^ {- 1} g) = (g ^ {- 1}) ^ {- 1} e = (g ^ {- 1}) ^ {- 1} [/ matemáticas]

Solo agregué esta derivación directa del hecho de que [math] (g ^ {- 1}) ^ {- 1} = g [/ math] porque la respuesta de Martin Arce hace que el problema parezca mucho más grande de lo que es.