¿Cuál es el promedio de dos vectores?

Answer 1

Supongo que estaban trabajando con vectores bidimensionales con un poco de pérdida de generalidad, pero creo que esto es lo que tenía en mente.

Podemos representar un vector V en 2D como un conjunto de puntos V = (a, b) o como una suma V = ax + por.

Como no existe un sistema de coordenadas predeterminado para este problema, por simplicidad trabajaremos con el caso donde B = (45,0). En otras palabras, toda la fuerza de B está orientada en la dirección x.

Ahora, podemos usar algo de trigonometría para encontrar una representación adecuada para A = (a, b).

A continuación se muestra una imagen del caso especial de un triángulo rectángulo de 60 grados.

Dado que B está orientado en el eje X, sabemos que A estará orientado como el lado etiquetado 2 en el siguiente diagrama.

Sabemos que la magnitud del vector A es 80, y podemos usar esto para determinar los componentes de A = (a, b). Podemos imaginar escalar el triángulo anterior por un número n, para producir estos componentes. Encontramos eso

2n = 80
n = a
b = sqrt (3) * n.

Resolviendo, encontramos n = 40, por lo tanto, a = 40 yb = sqrt (3) * 40 ~ = 69.3.

Entonces, nuestro vector A se puede representar como (40,69.3) o 40x + 69.3y.

El promedio de estos vectores C se define como es de esperar por C = (A + B) / 2. (en el caso de 2 dimensiones)

Al computar encontramos que,

C = ((40x + 69.3y) + (45x)) / 2 = (85x + 69.3y) / 2 = 42.5x + 34.65y

que también estará representado por (42.5, 34.65).

Para encontrar el ángulo entre C y B, calculamos el ángulo usando la fórmula

En nuestro caso, podemos decir que

Cos (ángulo) = C punto B / | C | * | B |

Por suerte, ya sabemos | B | = 45

La magnitud de C se calcula fácilmente con
| C | = sqrt (42.5 ^ 2 + 34.65 ^ 2) ~ = 54.83

El producto escalar de C y B se calcula multiplicando los componentes de C, B.
Entonces, C punto B = (42.5 * 45 + 34.65 * 0) = 1912.5

Poniendolo todo junto,
Cos (ángulo) = 1912.5 / (45 * 54.83) ~ = 0.775 rad

Entonces el ángulo = cos ^ -1 (0.775) = 0.684 rad o 39.2 grados

Answer 2

El “promedio” de n vectores será para mí, sin otro detalle, por defecto la aritmética significa los n vectores, es decir

[matemáticas] \ bar {v} = \ sum_ {i = 1} ^ n v_i / n [/ matemáticas]

En su caso, el promedio es [matemática] (A [/ matemática] [matemática] + B) / 2 [/ matemática]. Por lo tanto, la amplitud es la longitud del segmento que une el origen a la mitad de [AB] si suponemos que el vector A (respectivamente B) está representado por el par OA (respeto OB).

Para obtener el ángulo [matemática] \ widehat {AOC} [/ matemática], use el producto escalar de C y A.

Answer 3

Quizás una respuesta más, hecha ligeramente diferente.

Deje A = (80, 0). Deje B = (45cos (60), 45sin (60)). Es decir, suponemos que A apunta hacia afuera horizontalmente desde el origen a lo largo del eje xy que B apunta hacia arriba desde A en un ángulo de 60 grados. Resolvemos B en componentes usando pecado y coseno.

El promedio es C = (A + B) / 2, o C = (40 + 22.5cos (60), 22.5sin (60)).

La magnitud del promedio se calcula utilizando el teorema de Pitágoras:

Cmag = sqrt ((40 + 22.5cos (60)) ^ 2 + (22.5sin (60)) ^ 2)

= sqrt (2626.5625 + 379.6875) = 54.83 libras

El ángulo desde el eje x (o A) es arctan (componente y / componente x) = arctan (22.5sin (60) / (40 + 22.5cos (60))) = arctan (19.48 / 51.25) = 20.8 grados Por lo tanto, el ángulo de B es solo 60 – 20.8 = 39.2 grados

Esto es cierto ya que, como promedio, C debe apuntar entre A y B, y B está más alejado del eje x. Por lo tanto, el ángulo de B a A menos el ángulo de C a A debe producir el ángulo entre B y C. El método más formal es usar el método del producto de puntos como lo hizo otro comentarista, pero eso es doloroso :).