Cómo examinar si una transformación lineal es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva

Answer 1

Por teorema de núcleo e imagen, si A: F -> I es inyectiva, entonces dim (I) = dim (F). Pero también, solo el cero se asigna a cero, ya que la definición de inyección es: v1 diferente de v2 implica Av1 diferente de Av2. Si no fuera así, A (v2-v1) sería cero. Entonces habría un vector distinto de cero en F que se asigna a cero. Que es un estado equivalente.

Para ser agresivo, debe generar todo el espacio. Pero como A es lineal, no puede “agregar” dimensiones adicionales al espacio de la imagen. Entonces, un requisito es que dim (F)> = dim (I). De lo contrario, no será posible. Pero aún debe garantizar que genere todo el espacio de la imagen. Entonces, la dimensión del núcleo puede ser como máximo la diferencia entre dim (F) y dim (I). En otras palabras, todos los puntos en I son alcanzados por un punto o en F transformado por A. Entonces, en ese caso, el sistema lineal Ax = b siempre tiene una solución.

Ahora, si A es biyectivo, entonces debe satisfacer ambos casos.

Answer 2

Una matriz es inyectiva si su núcleo se reduce a cero. Suponga que su mapa lineal f es de E a F. Entonces la relación útil

dim (E) = dimKer (f) + dimIm (f)

permite el cálculo de dim (Im (f)). Lo comparas con dim (F) y listo! sabes si el mapa es sobreyectivo.