W es un subconjunto de [matemáticas] \\ R ^ {3} [/ matemáticas]. Sabemos que [math] \\ R ^ {3} [/ math] es un espacio vectorial bajo las definiciones estándar de suma y multiplicación escalar. Por lo tanto, podemos usar el teorema que mencionó para demostrar que W es un subespacio de [math] \\ R ^ {3} [/ math]. Es decir, debemos mostrar que (1) W contiene el vector cero (es decir, w = (0,0,0) [matemático] \ en [/ matemático] W), (2) W está cerrado por adición, y (3) W está cerrado bajo multiplicación escalar.
Probamos (1), (2), (3) de la siguiente manera:
- Observe que w = (0,0,0) satisface la propiedad 3 (0) + 1/4 (0) = 0. Por lo tanto, W contiene el vector cero.
- Supongamos que un vector x = (x1, x2, x3) [matemática] \ en [/ matemática] W e y = (y1, y2, y3) [matemática] \ en [/ matemática] W. Desde x [matemática] \ in [/ math] W e y [math] \ en [/ math] W, esto implica que 3 × 1 + (1/4) x2 = 0 y 3y1 + (1/4) y2 = 0. Si sumamos esos dos ecuaciones (marque esto si es necesario) obtenemos 3 (x1 + y1) + (1/4) (x2 + y2) = 0. Esto implica el vector x + y = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3) [math] \ in [/ math] W ya que satisface la propiedad que define el conjunto W. Por lo tanto, W se cierra por adición.
- Supongamos que [math] \ in [/ math] [math] \ R [/ math] y x = (x1, x2, x3) [math] \ in [/ math] W. Dado que x [math] \ in [/ matemática] W, esto implica que 3 × 1 + (1/4) x2 = 0. Si multiplicamos esta ecuación por el escalar a obtenemos 3 ( a x1) + (1/4) ( a x2) = 0. Esto implica el vector a x = ( a x1, a x2, a x3) [matemática] \ en [/ matemática] W ya que satisface la propiedad que define el conjunto W. Por lo tanto, W se cierra bajo multiplicación escalar.
Por el teorema & (1), (2) y (3) anteriores, concluimos que W es un subespacio de [math] \\ R ^ {3}. [/ Math]
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