Agregando a las respuestas ya dadas, voy a resolver este problema con la ayuda de Mathematica.
Definimos la matriz:
A = {{0, 2, -1}, {2, 1, -1}};
Luego encontramos el rango [math] r [/ math] de la matriz [math] A [/ math] usando la función incorporada de Mathematica MatrixRank []:
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MatrixRank [A]
El resultado es [matemática] r = 2 [/ matemática]
El rango de la matriz [matemática] A [/ matemática] es igual a la dimensión de columna de [matemática] A [/ matemática] menos la dimensión del espacio nulo (o nulidad):
[matemáticas] r = 3 – nulidad [/ matemáticas]
[matemática] nulidad = 3 – r = 3 – 2 = 1 [/ matemática]
Para encontrar una base del espacio nulo, simplemente usamos la función o símbolo incorporado Mathematica NullSpace []:
Espacio nulo [A]
La respuesta es :
{{1, 2, 4}}
que es la base requerida para el espacio nulo de la matriz [math] A [/ math], ya que podemos verificar que:
[matemática] \ left (\ begin {array} {ccc} 0 & 2 & – 1 \\ 2 & 1 & – 1 \\\ end {array} \ right). \ left (\ begin {array} {c} 1 \\ 2 \\ 4 \\\ end {array} \ right) = \ left (\ begin {array} {c} 0 \\ 0 \\\ end {array} \ right) [/ math]
Y el problema está resuelto.
También agregaré otra forma y algunas explicaciones más para resolver este problema con Mathematica.
Aquí consideramos el enfoque relacionado con la resolución del sistema [matemática] 2y – z = 0 [/ matemática] y [matemática] 2x + y – z = 0 [/ matemática].
Después de definir la matriz [matemática] A [/ matemática] como hicimos anteriormente, definimos un sistema de ecuaciones lineales (esto es equivalente a resolver la ecuación matricial general [matemática] mv = b [/ matemática] o [matemática] Av = 0 [/ matemáticas] como se indica en la pregunta):
eqn = Hilo [A. {x, y, z} == {0, 0}]
La solución se puede calcular usando Solve []:
sol1 = Resolver [eqn, {x, y, z}]
El resultado es :
{{y -> 2 x, z -> 4 x}}
También podemos usar Reducir []:
sol2 = Reducir [eqn, {x, y, z}]
Se obtiene el mismo resultado:
y == 2 x && z == 4 x
Los resultados anteriores significan que para un valor arbitrario de [math] x [/ math], siempre tendremos:
[matemática] y = 2x [/ matemática] y [matemática] z = 4x [/ matemática]
Si [math] x = 1 [/ math], obtenemos la base obtenida anteriormente para el espacio nulo de la matriz [math] A [/ math].
Usando la función FindInstance [] Mathematica, uno puede encontrar muchos valores reales y complejos de [matemáticas] x [/ matemáticas], [matemáticas] y [/ matemáticas] y [matemáticas] z [/ matemáticas]:
sol3 = FindInstance [eqn, {x, y, z}, Reales, 10]
Para valores complejos:
sol4 = FindInstance [eqn, {x, y, z}, 10]
El siguiente enlace en línea se puede utilizar para encontrar una base del espacio nulo de una matriz:
Kit de herramientas de álgebra lineal