Sea [math] W [/ math] el subespacio de [math] n \ times n [/ math] matrices de la forma [math] AB-BA [/ math], donde [math] A, B [/ math] son matrices [math] n \ times n [/ math]. ¿Cómo demuestras [math] \ operatorname {dim} (W) = n ^ 2 – 1 [/ math]? Educación te da un futuro mejor

Sea [math] W [/ math] el subespacio de [math] n \ times n [/ math] matrices de la forma [math] AB-BA [/ math], donde [math] A, B [/ math] son matrices [math] n \ times n [/ math]. ¿Cómo demuestras [math] \ operatorname {dim} (W) = n ^ 2 – 1 [/ math]?

Esta es una pregunta terrible, porque el hecho de que el subconjunto [math] W [/ math] de matrices que se pueden escribir como [math] [A, B]: = AB-BA [/ math] es en realidad un subespacio de El espacio de [math] n \ times n [/ math] matrices es un hecho altamente no trivial. No existe un argumento directo para demostrar que la suma

[matemáticas] [A, B] + [C, D] [/ matemáticas]

de dos de estas matrices se puede volver a escribir en la forma [math] [E, F] [/ math]. Cualquier argumento que muestre esto invariablemente calculará la dimensión en el camino.

Si suponemos que [math] W [/ math] es un subespacio (o si definimos [math] W [/ math] como el espacio abarcado por las matrices de la forma [math] [A, B] [/ math] , lo cual es a priori algo muy diferente) es bastante sencillo mostrar que [matemáticas] W [/ matemáticas] es en realidad igual al espacio de matrices de traza 0. Por un lado, la identidad [matemáticas] tr (AB ) = tr (BA) [/ math] muestra que [math] tr ([A, B]) = 0 [/ math], por lo que [math] W [/ math] está contenido en el espacio de las matrices de rastreo 0. En la otra dirección, es suficiente para mostrar que [math] W [/ math] contiene un conjunto que abarca las matrices de rastreo 0. Si [math] E_ {ij} [/ math] denota la matriz con un 1 en la posición (i, j) y un 0 en cualquier otro lugar, entonces las identidades

[matemáticas] [E_ {i, i + 1}, E_ {i + 1, i}] = E_ {ii} -E_ {i + 1, i + 1} [/ matemáticas]

[matemáticas] [E_ {i, i} -E_ {j, j}, E_ {i, j}] = 2E_ {i, j} [/ matemáticas]

implica fácilmente que [math] W [/ math] contiene un conjunto que abarca las matrices de rastreo 0.

Ahora ya que trace es un mapa lineal sobreyectivo

[matemáticas] tr: \ R ^ {n \ veces n} \ a \ R [/ matemáticas]

se sigue por el teorema de nulidad de rango que las matrices de traza 0 tienen dimensión [matemática] n ^ 2-1 [/ matemática].

Pero nuevamente, el quid de la cuestión es mostrar que [matemáticas] W [/ matemáticas] es en realidad un subespacio, y esto es mucho más doloroso de lo que pretendo hacer aquí.