Cómo demostrar que [matemáticas] \ det A_ {n + 2} = a \ det A_ {n + 1} + b \ det A_n [/ matemáticas] para la matriz A

Answer 1

Interesante pregunta.

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[matemáticas] A_n = \ begin {pmatrix} a & b & & & & 0 \\ b & a & b & & & \\ & b & a & b & & \\ & & \ ddots & \ ddots & \ ddots & \\ & & & b & a & b \\ 0 & & & & b & a \ end {pmatrix} _ {n \ times n}. [/ math]

El determinante de [matemáticas] A_n [/ matemáticas] es

[matemáticas] | A_n | = a \ begin {vmatrix} a & b & & & & 0 \\ b & a & b & & \\ & b & a & b & & \\ & & \ ddots & \ ddots & \ ddots & \\ & & & b & a & b \\ 0 & & & & b & a \ end {vmatrix} _ {(n-1) \ times (n-1)} – b \ begin {vmatrix } b & b & & & & 0 \\ & a & b & & & \\ & b & a & b & & \\ & & \ ddots & \ ddots & \ ddots & \\ & & & b & a & b \\ 0 & & & & b & a \ end {vmatrix} [/ math]

[matemáticas] = a | A_ {n-1} | -b ^ 2 \ begin {vmatrix} a & b & & & & 0 \\ b & a & b & & \\ & b & a & b & & \\ & & \ ddots & \ ddots & \ ddots & \\ & & & b & a & b \\ 0 & & & & b & a \ end {vmatrix} _ {(n-2) \ times (n-2)} [/ math]

[matemáticas] = a | A_ {n-1} | – b ^ 2 | A_ {n-2} |. [/ Matemáticas]

Combinado con el hecho de que [matemáticas] | A_1 | = a [/ matemáticas] y [matemáticas] | A_2 | = b ^ 2-a ^ 2 [/ math], tenemos la relación de recurrencia

[matemáticas] | A_1 | = a [/ matemáticas]

[matemáticas] | A_2 | = a ^ 2-b ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] | A_n | = a | A_ {n-1} | – b ^ 2 | A_ {n-2} |. [/ Matemáticas]

Answer 2

¿Sabía que el determinante se puede calcular de la siguiente manera?

1. elija una fila (escojamos la primera fila por simplicidad)
2. Para cada elemento en esa fila, digamos, k Tache la columna k-ésima de la matriz y tache la primera fila. Esto te lleva a una matriz n-1 por n-1. Tome el determinante de esa matriz y multiplique por (-1) ^ k
3. Suma los resultados

Esta receta te da el resultado deseado inmediatamente

Answer 3

El truco es expandir en la primera columna. Primera entrada de inmediato y la segunda después de un poco más de trabajo.