No he leído mucho álgebra lineal y no tengo un título formal en matemáticas, así que discúlpeme si mis anotaciones son algo no estándar. Además, esta será una respuesta larga, así que tengan paciencia conmigo.
Primero, una terminología: el elemento principal de un vector es el primer elemento distinto de cero de ese vector.
Lema 1 : Si [math] A_ {m \ times n} [/ math] es una matriz en la forma escalonada, no todos cuyos elementos son cero, entonces no existe dependencia lineal entre sus filas.
Prueba : deje que [math] \ alpha_i [/ math] sea el vector de fila [math] i [/ math]. Si existiera una dependencia lineal, tendríamos la relación:
- ¿No podemos resolver un vector en un vector infinito y cuál es su interpretación física?
- ¿Existe una definición general de ‘espacio’ en matemáticas? ¿Cómo debo entender el concepto de espacio en matemáticas?
- ¿Por qué el vector cero no es un vector propio?
- ¿Cuál es la diferencia entre la suma directa interna y externa de espacios vectoriales?
- ¿Por qué el vector propio de la matriz A solo puede ser 0 si el determinante de A-aI es 0 (a es un número real, I es una matriz de identidad)?
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ mk_i \ alpha_i = 0 [/ matemáticas],
donde no todos los [math] k_1, k_2,…, k_m [/ math] es [math] 0 [/ math]. Supongamos que el vector de columna [math] j [/ math] -th es el vector con el líder más a la izquierda entre aquellos vectores que tienen coeficientes distintos de cero. Luego, moviendo [math] k_j \ alpha_j [/ math] al lado derecho de la ecuación y manteniendo todo lo demás a la izquierda, el elemento en la posición del elemento principal de [math] a_j [/ math] para la suma de vectores a la izquierda es cero, lo que conduce a una contradicción. Por lo tanto, no es posible una dependencia lineal.
Lema 2 : si [matemática] B_ {m \ veces n} [/ matemática] y [matemática] C_ {m \ veces n} [/ matemática] son dos formas escalonadas distintas a [matemática] A_ {m \ veces n} [ / math], entonces cada fila de [math] C_ {m \ times n} [/ math] se puede expresar como una combinación lineal de las filas de [math] B_ {m \ times n} [/ math] y viceversa .
Prueba : para probar esto, será suficiente tener en cuenta que si [math] B_ {m \ times n} [/ math] es una forma escalonada para [math] A_ {m \ times n} [/ math], entonces cada la fila de [math] A_ {m \ times n} [/ math] es, por definición, lineal de las filas de [math] B_ {m \ times n} [/ math]. Además, cada fila de [math] C_ {m \ times n} [/ math] se puede expresar como una suma lineal de las filas de [math] A_ {m \ times n} [/ math]. Ahora, simplemente exprese cualquier fila de [math] C_ {m \ times n} [/ math] en términos de las filas de [math] A_ {m \ times n} [/ math] y luego exprese las filas de [math] A_ {m \ times n} [/ math] en términos de las filas de [math] B_ {m \ times n} [/ math] y la prueba está completa.
Lema 3 : Si [matemáticas] \ displaystyle A_ {m \ times n} = \ begin {pmatrix} a_ {1,1} && a_ {1,2} && \ cdots && a_ {1, n} \\ a_ {2 , 1} && a_ {2,2} && \ cdots && a_ {2, n} \\ \ vdots && \ vdots && \ ddots && \ vdots \\ a_ {m, 1} && a_ {m, 2} && \ cdots && a_ {m, n} \ end {pmatrix} [/ math] tiene dos formas escalonadas separadas [math] \ displaystyle B_ {m \ times n} = \ begin {pmatrix} b_ {1,1} && a_ {1 , 2} && \ cdots && b_ {1, n} \\ b_ {2,1} && b_ {2,2} && \ cdots && b_ {2, n} \\ \ vdots && \ vdots && \ ddots && \ vdots \\ b_ {m, 1} && b_ {m, 2} && \ cdots && b_ {m, n} \ end {pmatrix} [/ math] y [math] \ displaystyle C_ {m \ times n} = \ comenzar {pmatrix} c_ {1,1} && c_ {1,2} && \ cdots && c_ {1, n} \\ c_ {2,1} && c_ {2,2} && \ cdots && c_ {2, n} \\ \ vdots && \ vdots && \ ddots && \ vdots \\ c_ {m, 1} && c_ {m, 2} && \ cdots && c_ {m, n} \ end {pmatrix} [/ math], entonces, el elemento principal de cada fila de [matemáticas] B_ {m \ veces n} [/ matemáticas] se encuentra en la misma columna que el elemento principal de la fila correspondiente de [matemáticas] C_ {m \ veces n} [/ matemáticas].
Prueba : Sea [math] k_i [/ math] el elemento principal del índice de columna del elemento principal de la fila [math] i [/ math] -th de [math] B_ {m \ times n} [/ math ] y deje que [math] l_i [/ math] sea el elemento principal del índice de columna del elemento principal de la [math] i [/ math] -th fila de [math] C_ {m \ times n} [/ math ] Vamos a demostrar que no es posible para [math] k_i> l_i [/ math]. Para hacerlo, considere la matriz auxiliar [matemáticas] \ displaystyle \ begin {pmatrix} a_ {1,1} && a_ {1,2} && \ cdots && a_ {1, k_i} \\ a_ {2,1} && a_ {2,2} && \ cdots && a_ {2, k_i} \\ \ vdots && \ vdots && \ ddots && \ vdots \\ a_ {i, 1} && a_ {i, 2} && \ cdots && a_ { i, k_i} \ end {pmatrix} [/ math]. Tenga en cuenta que esta matriz en sí está en la forma escalonada y, por lo tanto, el lema 1 establece que sus filas son linealmente independientes. Ahora, dado que la [matemática] i [/ matemática] -th fila de [matemática] C_ {m \ veces n} [/ matemática] es expresable linealmente en términos de las filas de [matemática] B_ {m \ veces n} [ / math] (lema 2), esto solo es posible si existía una dependencia lineal entre las filas de la matriz auxiliar. Por lo tanto, no puede ser que [math] k_i> l_i [/ math]. Del mismo modo, podemos mostrar que no puede ser que [math] k_i <l_i [/ math]. Por lo tanto, k [matemáticas] _i = l_i [/ matemáticas].
Finalmente, considere las filas [matemáticas] i [/ matemáticas] de [matemáticas] B_ {m \ veces n} [/ matemáticas] y [matemáticas] C_ {m \ veces n} [/ matemáticas], que son dos distintas formas escalonadas reducidas de [matemáticas] A_ {m \ veces n} [/ matemáticas]. Deje que [math] \ beta_j [/ math] sea la [math] j [/ math] -th fila de [math] B_ {m \ times n} [/ math] y [math] \ gamma_j [/ math] sea el [math] j [/ math] -th row of [math] C_ {m \ times n} [/ math]. Deje que la columna [math] k_i [/ math] -th sea la columna inicial de esa fila (si existe).
Exprese [math] \ gamma_i [/ math] linealmente en términos de las filas de [math] B_ {m \ times n} [/ math]. Deje que la expresión para ello sea de la forma:
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {j = 1} ^ ms_j \ beta_j = \ gamma_i [/ math]
donde, no todos [math] s_1, s_2, …, s_i [/ math] son cero.
Considere la matriz auxiliar [matemáticas] \ displaystyle \ begin {pmatrix} s_1a_ {1,1} && s_1a_ {1,2} && \ cdots && s_1a_ {1, k_i} \\ s_2a_ {2,1} && s_2a_ {2, 2} && \ cdots && s_2a_ {2, k_i} \\ \ vdots && \ vdots && \ ddots && \ vdots \\ s_ {i – 1} a_ {i – 1,1} && s_ {i – 1} a_ { i – 1,2} && \ cdots && s_ {i – 1} a_ {i – 1, k_i} \ end {pmatrix} [/ math]. Esta matriz está en forma escalonada y, por lo tanto, no existe dependencia lineal entre sus filas. Sin embargo, dado que todos los elementos hasta el elemento [math] (k_i -1) [/ math] -th del vector de la derecha son [math] 0 [/ math], debe ser la suma de los vectores de fila de matriz auxiliar es cero. Este solo puede ser el caso si [math] s_1 = s_2 =… = s_ {i – 1} = 0 [/ math]. Por lo tanto, dado que [math] b_ {i, s_i} = c_ {i, s_i} = 1 [/ math], tenemos [math] s_i = 1 [/ math]. Esto significa que las filas [matemática] i [/ matemática] de [matemática] B_ {m \ veces n} [/ matemática] y [matemática] C_ {m \ veces n} [/ matemática] son iguales.
La prueba está completa.