Cómo determinar si la matriz A es diagonalizable

Answer 1

Llamamos a una matriz [matemática] A [/ matemática] diagonalizable si puede escribirse en la forma [matemática] A = PDP ^ {- 1} [/ matemática] donde [matemática] D [/ matemática] es una matriz diagonal. Usando otra terminología de álgebra lineal, esto significa que una matriz [matemática] A [/ matemática] es diagonalizable si es similar a una matriz diagonal.

Dicho de otra manera, una matriz [matemática] n \ veces n [/ matemática] [matemática] A [/ matemática] es diagonalizable si tiene vectores característicos linealmente independientes [matemática] n [/ matemática] (es decir, hay una base propia).

Esa es la descripción general de lo que es la diagonalización, pero permítame responder más específicamente a su pregunta sobre la multiplicidad algebraica y geométrica. La multiplicidad algebraica de un valor propio [matemática] a [/ matemática] es la potencia [matemática] i [/ matemática] de [matemática] (a- \ lambda) ^ i [/ matemática] en el polinomio característico.

La multiplicidad geométrica, por otro lado, es la dimensión de ker [math] (A- \ lambda I), [/ math] donde [math] \ lambda [/ math] son ​​los valores propios encontrados usando el polinomio característico.

Aquí hay dos ejemplos concretos:

(1) Deje que [math] A = \ begin {bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \ end {bmatrix} [/ math]

El polinomio característico es: [math] \ det (A- \ lambda I) = (2- \ lambda) ^ 2 [/ math]. Por lo tanto, el valor propio [matemática] \ lambda = 2 [/ matemática] tiene multiplicidad algebraica de 2. Probamos [matemática] \ text {dimker} (A-2I) [/ matemática] para encontrar la multiplicidad geométrica para el valor propio [matemática] ] \ lambda = 2, [/ math] encontrando que:

[matemáticas] \ text {dimker} (A-2I) = \ text {dimker} \ begin {bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix} = 2. [/ math]

Por lo tanto, concluimos que la multiplicidad geométrica de [math] \ lambda = 2 [/ math] es 2, y la matriz [math] A [/ math] es diagonalizable porque las multiplicidades geométricas de los valores propios (solo un valor propio en este caso) se suman a las multiplicidades algebraicas. Es decir, hay una base propia de [matemáticas] A [/ matemáticas].

(2) Deje que [math] A = \ begin {bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \ end {bmatrix}. [/ Math]

Nuevamente, encontramos que el polinomio característico es: [math] \ det (A- \ lambda I) = (2- \ lambda) ^ 2 [/ math]. Por lo tanto, el valor propio [matemática] \ lambda = 2 [/ matemática] tiene multiplicidad algebraica de 2. Probamos [matemática] \ text {dimker} (A-2I) [/ matemática] para encontrar la multiplicidad geométrica para el valor propio [matemática] ] \ lambda = 2, [/ math] encontrando que:

[matemáticas] \ text {dimker} (A-2I) = \ text {dimker} \ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix} = 1. [/ math]

Por lo tanto, concluimos que la multiplicidad geométrica de [math] \ lambda = 2 [/ math] es 1, y la matriz [math] A [/ math] no es diagonalizable porque las multiplicidades geométricas para los valores propios (de nuevo, un valor propio en este ejemplo) no sume a las multiplicidades algebraicas. Es decir, no existe una base propia para [matemáticas] A. [/ Matemáticas]

Answer 2

A es diagonalizable si tiene un conjunto completo de vectores propios; no todas las matrices lo hacen. Para una matriz n por n, el polinomio característico tiene grado ny también tiene n raíces (valores propios), pero algunos de ellos pueden repetirse (tienen multiplicidad algebraica, como lo hacen ambos valores propios). Si todos los valores propios son diferentes, entonces usted están garantizados para poder diagonalizar la matriz, pero si no, puede que no haya suficientes vectores propios (multiplicidad geométrica) para un valor propio (por lo que la multiplicidad geométrica es menor que algebraica, nunca puede ser más).

Por ejemplo, [1 0 0, 0 1 0, 0 0 2] está diagonalizado. Tiene dos valores propios, 1 y 2. 1 tiene multiplicidad algebraica 2. También tiene multiplicidad geométrica 2, ya que (1,0,0) y (0,1,0) son ambos vectores propios con valor propio 1. Igualmente 2 tiene multiplicidad 1 y tiene exactamente 1 vector propio (tiene que tener uno para * ser * un valor propio, y no puede tener más) que es (0,0,1). Sin embargo, [1 1 0, 0 1 0, 0 0 2] tiene los mismos valores propios con la misma multiplicidad algebraica, pero la multiplicidad geométrica de 1 es solo 1 esta vez, ya que (1,0,0) es un vector propio pero existe No es una segunda. Entonces esa segunda matriz no es diagonalizable.

Answer 3

Una matriz es diagonalizable si, y solo si, la multiplicidad algebraica de cada valor propio es igual a su multiplicidad geométrica.

Answer 4

Debe verificar si [math] (A- \ mathrm {I} _4) (A + 3 \ mathrm {I} _4) = 0 [/ math], porque ese sería el polinomio mínimo si [math] A [ / math] era diagonalizable.