¿Cuántas dimensiones pueden ser modeladas por números complejos?

Answer 1

¿Cuántas dimensiones pueden modelarse mediante números complejos?

Una “dimensión” en sí misma no es una cosa bien definida. Es simplemente una medida independiente de (ortogonal a) las otras dimensiones. Como mínimo, debe definir el dominio de la medida o, si le gusta el “tipo” de la dimensión.

Como resultado, un número complejo podría modelar:

• Precisamente una dimensión compleja;
• Dos dimensiones reales;
• Un número contable de dimensiones contables; o
• Alguna combinación de los dos últimos.

Si te refieres a una dimensión física continua típica que generalmente está modelada por un número real (como la longitud en el espacio o la temperatura o un ángulo o tiempo), entonces un número complejo puede modelar exactamente dos de estos. Eso es lo que se hace en los circuitos eléctricos donde se usa una impedancia eléctrica compleja para medir tanto la resistencia como la inductancia. La razón por la cual los números complejos se usan aquí es porque la resistencia y la inductancia exhiben exactamente la relación de los números reales e imaginarios, y la suma y la multiplicación tienen sentido en el contexto de los circuitos eléctricos.

Answer 2

Cualquier número. La rama de las matemáticas que se ocupa de esto es bastante nueva y rara vez se incluye en los planes de estudio de las matemáticas, incluso para las matemáticas puras. Lleva varios nombres, más comúnmente “variedades complejas” o “varias variables complejas”. El análisis complejo es menos avanzado y se ocupa de las funciones de una sola variable compleja.

Los teoremas del análisis complejo no se aplican en su mayor parte a más de una variable (o dimensión). Eso no ha impedido que la comunidad de mecánica cuántica use múltiples variables complejas para modelar el espacio de fase cuántica sin tener en cuenta los teoremas.

La dificultad que sin duda ha previsto para un espacio euclidiano que tiene dimensiones complejas, es ¿Cómo demonios consigue que todas esas dimensiones complejas bidimensionales sean perpendiculares entre sí? ¿Qué se supone que significa eso?

En pocas palabras, uno comienza con una base de vector real que no es diferente del tipo común: es el tipo común. Luego, simplemente permite que los coeficientes de los componentes de cualquier vector sean complejos.

¡Los teoremas son asombrosos! ¡Ojalá más personas estudien este campo, especialmente porque estoy teniendo el mal tiempo tratando de aprenderlo por mi cuenta!

Answer 3

Es una característica poderosa de las matemáticas que puedes hacer tanto con tan poco. Cada número complejo tiene dos reales, por lo que puede codificar 2 dimensiones continuas.

Sin embargo, con algunos trucos inteligentes, ¡puede aproximarse a cualquier cantidad de dimensiones en un solo real!

Por ejemplo, si tenemos un vector 3D cuyas coordenadas son inferiores a 1, digamos,

[matemáticas] (X, Y, Z) = (.X_n … X_0, .Y_n … Y_0, .Z_n … Z_0,) [/ matemáticas]

entonces esto se puede representar como un solo número real por

[matemáticas] .X_nY_nZ_n… X_0Y_0Z_0 [/ matemáticas]