¿Qué es la norma de matriz y dónde se puede usar en la vida real?

Answer 1

La norma de la matriz es similar a la magnitud de un vector. Es útil siempre que un sistema / problema pueda formularse en una matriz que tenga algún significado físico. Te daré algunos ejemplos de dónde he usado la norma de la matriz. Espero poder explicarlo razonablemente bien, ya que probablemente no tenga conocimiento previo.

Trabajo con sistemas de comunicaciones inalámbricas, por lo que el lugar que más me he topado con la norma de la matriz ha sido con lo que se conoce como sistemas de entrada múltiple y salida múltiple (MIMO). Como su nombre indica, un sistema MIMO tiene múltiples antenas de transmisión y recepción múltiples. Como tal, existe un canal único (conjunto de rutas a través del cual se propaga la señal inalámbrica) que existe entre cada par de antenas de transmisión y recepción. Estos canales pueden estructurarse en una matriz donde cada fila corresponde a una de las antenas de recepción y cada columna corresponde a una de las antenas de transmisión. La norma de esta matriz es muy útil porque le informa cuánta pérdida ha ocurrido a través del canal MIMO.

Otro ejemplo relacionado. Cuando transmitimos en un sistema MIMO, necesitamos asignar los datos de transmisión a nuestras múltiples antenas de transmisión. Este mapeo se logra usando una transformación de matriz. ¿Cómo crees que la norma de esta transformación matricial podría afectar el sistema? Bueno, si la norma de la matriz es grande, eso significa que nuestra potencia de transmisión será relativamente grande. Por lo tanto, debemos controlar la norma de esta matriz cuando la diseñamos (está diseñada en función de las condiciones del canal).

Answer 2

Supongamos que tengo una serie infinita que converge para un rango particular de valores de [matemáticas] x [/ matemáticas], llamado radio de convergencia. Pongamos un ejemplo:

[matemáticas] (1-x) ^ {- 1} = 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + \ cdots, -1

Escribamos ahora una contraparte matricial de la serie anterior:

[matemáticas] (IA) ^ {- 1} = I + A + A ^ 2 + A ^ 3 + \ cdots [/ matemáticas]

¿Para qué matrices [matemáticas] A [/ matemáticas] convergerán las series anteriores?

Resulta que la respuesta a esta pregunta es: para matrices cuya norma de matriz está entre [matemática] -1 [/ matemática] y [matemática] 1 [/ matemática]. En otras palabras, para matrices [matemáticas] A [/ matemáticas] que satisfacen:

[matemáticas] -1 <|| A || <1 [/ matemáticas]

Esto significa que las normas matriciales se usan indirectamente en cualquier aplicación que requiera funciones matriciales y / o series matriciales, por ejemplo, en las soluciones de ecuaciones diferenciales matriciales.

Answer 3

Hay diferentes normas matriciales. La norma de matriz estándar es la norma de frobenius, que es equivalente a la norma euclidiana para matrices [matemáticas] {A} _ {F} = \ left (\ sum_ {i = 1} ^ {m} \ sum_ {j = 1} ^ {n} | a_ {ij} | ^ {2} \ right) ^ {\ frac {1} {2}} = (trace (A ^ {*} A)) ^ {\ frac {1} {2}} [/matemáticas]

¿Cómo se puede usar en la vida real?

La SVD le proporciona la aproximación de rango k de una matriz.

Esta es la matriz más cercana.

[matemáticas] || A-A_ {k} || \ leq || AB || _ {F} [/ math]

Prueba: deje que B minimice [matemáticas] || AB || _ {F} ^ {2} [/ matemáticas] para todas las matrices de rango k o menos. Deje que [math] \ mathbb {V} [/ math] sea un espacio atravesado por las filas de B. La dimensión de V es como máximo k. Dado que B minimiza [matemática] || AB || _ {F} ^ {2} [/ matemática] se debe alcanzar la fila de B es la proyección de la fila correspondiente de A sobre B. De lo contrario, reemplazar la fila de B con el la proyección de la fila correspondiente de A sobre V no cambia V y, por lo tanto, el rango de B pero reduciría [matemática] || AB || _ {F} ^ {2} [/ matemática] Dado que cada fila de B es la proyección de la fila correspondiente de A, se deduce que [matemáticas] || AB || _ {F} ^ {2} [/ matemáticas] es la suma de las distancias al cuadrado de las filas de A a V. Desde [matemáticas] A_ {k } [/ math] minimiza la distancia al cuadrado de las filas de A al subespacio dimensional ak que sigue.

Adicionalmente..

[matemáticas] || A -A_ {k} || _ {2} ^ {2} = \ sigma_ {k + 1} ^ {2} [/ matemáticas]

Ver aquí. [1]

Entonces podemos usar la matriz [matemáticas] A = U \ Sigma V ^ {T} [/ matemáticas]

entonces [matemáticas] U_ {k} \ Sigma_ {k} V_ {k} ^ {T} [/ matemáticas]

dejar arriba = [matemáticas] A_ {k} [/ matemáticas]

y tenemos una aproximación de rango

ahora podemos usar la aleatorización.

[matemáticas] A \ in \ mathbb {M} _ {m \ veces n} (\ mathbb {R}) [/ matemáticas]

[matemáticas] Ax = b [/ matemáticas]

luego multiplique por una matriz aleatoria [math] W \ in \ mathbb {M} _ {n \ times k + p} [/ math]

let [matemáticas] B = AW [/ matemáticas]

ahora toma descomposición QR

[matemáticas] Q ^ {T} A [/ matemáticas]

ahora SVD de arriba

[matemáticas] U_ {k} \ Sigma_ {k} V_ {k} ^ {T} [/ matemáticas]

[matemáticas] x = V (S ^ {\ daga}) (\ bar {U} ^ {T} (Q ^ {T} b) [/ matemáticas]

Notas al pie

[1] https://www.cs.cmu.edu/~venkatg/ …