¿Cómo se ve afectado el rango de X = magia (N) cuando la matriz está centrada con respecto a su promedio?

Answer 1

Parece que no hay cambio en el rango.

Si lo piensa, esta es una operación elemental enrevesada que está realizando en cada fila (o columna).

Considere una matriz, [matemáticas] A = [c_1, c_2, …, c_n] [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que la media de la primera fila de la matriz es:

[matemáticas] \ mu_1 = (e_1 A) / n [/ matemáticas]

donde, defino [matemáticas] e_1 = \ begin {matrix} 1 & 1 & … & 1 \\ 0 & 0 & … & 0 \\ \ vdots & \ vdots & … & \ vdots \\ 0 & 0 & … & 0 \ end {matriz} [/ matemáticas]

Del mismo modo, [math] e_n [/ math] tiene la fila [math] n-th [/ math] como todas.

Por lo tanto, la operación de resta se puede escribir de forma compacta como:

[matemáticas] A- (e_1 / n) A- (e_2 / n) A-… – (e_n / n) A [/ matemáticas]

Felizmente, [math] (e_i A) / n = (e_j A) / n. [/ Math] Esto es como cambiar el origen y no causa cambio de rango en [math] A. [/ Math]

Por lo tanto, la regla de rango para la magia (n) sigue siendo la misma, es decir:

Por n impar, el rango del cuadrado mágico es n . Para n divisible por 4, el rango es 3 . Para n par pero no divisible por 4, el rango es n/2 + 2 .

[Cuadrado mágico – magia MATLAB]

Nuevamente, también se puede verificar rápidamente con MATLAB.

para n = 3:50
X = magia (n);
r1 (n) = rango (X);
x_mean = media (X, 2);
X_centered = X – repmat (x_mean, [1, n]);
r2 (n) = rango (centrado en X);
r_diff (n) = r1 (n) -r2 (n);
fin
[r_diff (3: final)] ‘

Vea si funciona para restar cualquier número aleatorio en lugar de x_mean. ¡Debería!

Answer 2

Los rangos son invariables para cambiar de origen.

El rango de una matriz es el número de vectores linealmente independientes en la matriz, y estos vectores forman un subespacio.

Entonces, la relación entre los vectores no cambiará si cambia el origen (eso es lo que sucede en la resta media). Los vectores linealmente independientes siguen siendo linealmente independientes.

Entonces no tiene efecto.