Si [math] H_n [/ math] conjunto de toda la matriz hermitiana donde n es el orden de la matriz, ¿cómo puedo encontrar la base estándar de [math] H_ {n} [/ math]?

Answer 1

Comencemos con matrices simétricas en [math] M_n (\ mathbb R) [/ math]. Con suerte, eso le dará la intuición para las matrices hermitianas en [matemáticas] M_n (\ mathbb C) [/ matemáticas]

La idea es construir una matriz simétrica a partir de la base canónica, y ver qué opciones estamos obligados a hacer.

Primero tenemos que elegir [matemática] n [/ matemática] coeficientes diagonales. Esto nos da las matrices de primera base [matemáticas] n [/ matemáticas], simplemente estableciendo el coeficiente único [matemáticas] = 1 [/ matemáticas].

Luego nos quedan los coeficientes no diagonales [matemática] n ^ 2-n = n (n-1) [/ matemática]. Como nuestra matriz tiene que ser simétrica, solo elegiremos los coeficientes [math] \ dfrac {n (n-1)} {2} [/ math].

Lo que eso te da es tu base completa: las diagonales

[matemáticas] \ begin {pmatrix} 1 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & 0 & \ cdots & 0 \\ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & 0 \ \ \ end {pmatrix}, \ begin {pmatrix} 0 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & 1 & \ cdots & 0 \\ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & 0 \\ \ end {pmatrix}, \ ldots, \ begin {pmatrix} 0 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & 0 & \ cdots & 0 \\ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & 1 \\ \ end {pmatrix} \ tag * {} [/ math]

y los otros

[matemáticas] \ begin {pmatrix} 0 & 1 & \ cdots & 0 \\ 1 & 0 & \ cdots & 0 \\ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & 0 \ \ \ end {pmatrix}, \ ldots, \ begin {pmatrix} 0 & 0 & \ cdots & 1 \\ 0 & 0 & \ cdots & 0 \\ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 1 & 0 & \ cdots & 0 \\ \ end {pmatrix}, \ ldots, \ begin {pmatrix} 0 & \ cdots & 0 & 0 \\ \ vdots & \ ddots & \ vdots & \ vdots \\ 0 & \ cdots & 0 & 1 \\ 0 & \ cdots & 1 & 0 \\ \ end {pmatrix} \ tag * {} [/ math]