Si [math] x [/ math] es un punto crítico de una función (digamos, dos veces continuamente diferenciables) [math] f: \ mathbb {R} ^ n \ to \ mathbb {R} ^ m [/ math], y si el Hessian de [math] f [/ math] en [math] x [/ math] es positivo definido, entonces [math] f [/ math] tiene un mínimo local en [math] x [/ math]. En otras palabras, en cualquier dirección lejos de [math] x [/ math], el valor de [math] f [/ math] aumenta al principio (quizás solo por una distancia muy corta en [math] \ mathbb {R} ^ n [/ matemáticas]).
Cuando la matriz de Hesse es positiva definida, todos sus valores propios son positivos. En términos más generales, comprender la cantidad de valores propios positivos y negativos que tiene el Hessian y cómo esto afecta la función [matemáticas] f [/ matemáticas] es el tema de la teoría Morse. ¿Qué pasa con los valores propios iguales a cero? ¡Ve y estudia la teoría de Morse! Aprenderá que tales funciones son altamente atípicas (y existen técnicas para tratarlas en ciertos casos, bajo el título de “Teoría de Morse-Bott”).