¿Cuál es la importancia de que un sistema numérico sea un campo?

Answer 1

¿Cuál es la importancia de que un sistema numérico sea un campo?

La importancia es que la mayoría de las cosas que las personas piensan que son “obvias” acerca de los números son demostrablemente verdaderas (casi por definición) en un campo (matemáticas).

Por ejemplo, una de mis respuestas más votadas, la respuesta de Alan Bustany a Piensa en un número, duplícalo, suma seis, divídelo por la mitad y resta el número con el que empezaste. La respuesta es tres. ¿Por qué? podría responderse diciendo que los números reales (o racionales) son un campo. Pero tendrías que saber cuáles eran las propiedades de un Campo, en cuyo caso nunca hubieras hecho tal pregunta 🙁

En cambio, mi respuesta usó mi conocimiento de las propiedades de Campo y el hecho de que los números son un Campo para mostrar que el resultado siempre será tres, sea cual sea el número con el que comiences. ¿Eso es significativo? ¡Quién sabe! Pero también se puede mostrar que los objetos matemáticos distintos de los números son Campos, y luego varios teoremas asociados con los Campos son “gratuitos”.

Esta es una forma bastante estándar de proceder en matemáticas: demuestre que algún objeto tiene alguna propiedad, y luego use un teorema asociado con esa propiedad para probar algo sobre su objeto de interés. Me atrevo a decir que este procedimiento es bastante significativo si consideras que las matemáticas son significativas en absoluto 🙂

Answer 2

En pocas palabras, un campo tiene suma, resta, multiplicación y división, donde estos son conmutativos y satisfacen la distributividad. Los números racionales, los números reales y los números complejos son los ejemplos de campos más conocidos. Una característica clave de los campos es que los campos permiten la división por cualquier elemento (excepto cero). Los enteros no son un campo porque no están cerrados bajo división. Los enteros son, sin embargo, un anillo. (Para más información sobre esto, vea mi respuesta a ¿Cuáles son las diferencias entre anillos y campos?)

Los campos son importantes como base para el estudio de las extensiones de campo. Por ejemplo, un espacio vectorial sobre un campo puede verse como una extensión de campo cuyo grado es igual a la dimensión del espacio vectorial. Las extensiones finitas de los racionales se denominan campos de números algebraicos y son importantes en la teoría de números.

Answer 3

Nada que rompa la Tierra. Recuerdo haber pensado más de unas pocas veces en mi inmersión inicial en las aguas del álgebra abstracta: “¿ Este es el gran problema? ¿Por qué necesitan un nombre completo para esto ?” Quizás establecí mis expectativas demasiado altas. Antes de saber qué eran, escuché términos como “teoría de grupo” o “teoría de campo”, y pensé que debían ser estas áreas exóticas y arcanas de las matemáticas.

No suele ser el caso.

Entonces, ¿qué puedes decir sobre un sistema de números como un campo? Obviamente, existe la definición: puede sumar, restar, multiplicar y dividir por números distintos de cero. También tenemos caracterizaciones bastante buenas de campos “agradables”. Campos finitos, por ejemplo: conocemos representaciones bastante concretas de ellos. También sabemos sobre cosas llamadas campos p- adic, que pueden sonar un poco elegantes, pero no lo son. Sabemos cómo se pueden construir campos complicados a partir de los más simples.

Hay un concepto simple asociado con un campo llamado “característica”. La característica p es el número más pequeño de sumandos de modo que 1 + 1 +… + 1 ( p veces) = 0. En el caso de que la ecuación no tenga solución (como en, por ejemplo, los racionales), la característica se define como 0. Conocer la característica del campo le permite conocer un poco acerca de su estructura: un campo de la característica 0 contiene los racionales como un subcampo. Un campo de característica p contiene los enteros mod p como un subcampo.

Puede continuar: si un campo tiene un subcampo adecuado, también puede considerar el campo grande como un espacio vectorial sobre un subcampo. A veces, conocer la dimensión de ese espacio vectorial puede decirle cosas interesantes.

Como dije, nada de eso es devastador. Saber que estás tratando con un campo simplemente te pone en un determinado entorno. No es un ambiente exótico, al menos no en virtud del campo. (Puede ser exótico por otras razones).

Answer 4

La pregunta buscaba el SIGNIFICADO de … como un CAMPO.

Las respuestas aquí lo han dicho todo sobre “¿Qué es un campo?

Pero cuál es el significado …

1.históricamente

Nos ayuda a distinguir las diversas propiedades y misteriosos sistemas numéricos.

2 álgebra

Nos ayuda a clasificar las álgebras

como reales, complejos, vectores, cuaterniones, anillos, modulares, etc.

3.geometría

La geometría analítica comenzó con un sistema de números que se toma como un campo.

Por lo tanto, está en la base de casi todas las partes de las matemáticas.

Answer 5

Un algebraista ha considerado las operaciones ordinarias bajo un objeto más grande. Reduce la entropía con muchas posibilidades. Un campo se cierra bajo la suma y la multiplicación bajo ciertas propiedades. Esta declaración hace posible mapas a objetos similares.