¿Por qué necesitamos espacios vectoriales infinitos en física?

Answer 1

En mecánica cuántica, la relación de conmutación [matemática] [p, q] = – i \ hbar I [/ matemática], donde [matemática] p [/ matemática], [matemática] q [/ matemática] son ​​matrices asociadas con el momento y operadores de posición, y [math] I [/ math] es la matriz de identidad. Imaginemos que las matrices son finitas y que son n-dimensionales. Entonces, la suma de los elementos diagonales de la matriz [math] -i \ hbar I [/ math] es igual a [math] -in \ hbar [/ math], mientras que la suma de los elementos diagonales de la matriz [math] ] [p, q] = pq-qp [/ math] es igual a cero, ya que la suma de los elementos diagonales de [math] pq [/ math] y [math] qp [/ math] son ​​iguales. Por lo tanto, [matemática] [p, q] = – i \ hbar I [/ matemática] no puede ser verdadera si las matrices [matemática] p [/ matemática], [matemática] q [/ matemática] y [matemática] I [ / matemáticas] son ​​de dimensión finita, lo que significa que el espacio vectorial en el que actúan los operadores de momento y posición debe ser de dimensión infinita.

Answer 2

Porque el formalismo de QM implica hacer un espacio vectorial a partir de estados de un sistema, con cada estado potencialmente medible como vector base.

Tome un sistema simple: un electrón en una caja. ¿Cuál es su energía? Clásicamente, podría ser literalmente cualquier cosa. Cuánticamente mecánicamente, solo podría ser uno de un conjunto discreto de cosas. Pero todavía hay un número infinito de niveles de energía posibles en ese conjunto discreto. Por lo tanto, la necesidad de un espacio vectorial de dimensiones infinitas.

Answer 3

Para la mecánica cuántica, por ejemplo, debe considerar los espacios normados [matemáticos] L ^ p [/ matemáticos] que son espacios vectoriales de dimensiones infinitas, por ejemplo, para resolver la ecuación de Schrödinger:

[matemáticas] i \ hbar \ dfrac {\ partial \ psi} {\ partial t} + \ dfrac {\ hbar ^ 2} {2m} \ Delta (\ psi) = V \ cdot \ psi [/ math]

Lo que podría escribirse:

[matemática] \ left (i \ hbar \ dfrac {\ partial} {\ partial t} + \ dfrac {\ hbar ^ 2} {2m} \ Delta \ right) \ psi = V \ psi [/ math]

De esa manera, verá que [math] \ psi [/ math] es un vector propio de algún operador diferencial lineal, por lo que se aplican las técnicas del álgebra lineal.