Cómo demostrar que [math] tr (A) = a_ {11} + a_ {22} = \ lambda _1 + \ lambda _2 [/ math] para la matriz 2 × 2

Answer 1

Si la matriz A es diagonalizable, entonces existe una matriz S de sus vectores propios que diagonaliza A por una transformación de similitud. Si [math] \ Delta [/ math] es la matriz diagonal, entonces [math] \ Delta = S ^ {- 1} AS [/ math] con los elementos diagonales de [math] \ Delta [/ math] los valores propios de A Ahora el rastro de una matriz es la suma de sus elementos diagonales. Entonces [matemáticas] Tr (A) = a_ {11} + a_ {22} [/ matemáticas] y [matemáticas] Tr (\ Delta) = \ lambda_ {1} + \ lambda_ {2} [/ matemáticas]. Ahora, [matemáticas] Tr (\ Delta) = Tr (S ^ {- 1} AS) = \ sum_ {i = 1} ^ {2} (S ^ {- 1} AS) _ {ii} = \ sum_ { i = 1} ^ {2} \ sum_ {j = 1} ^ {2} \ sum_ {k = 1} ^ {2} (S ^ {- 1}) _ {ij} A_ {jk} S_ {ki} = \ sum_ {i = 1} ^ {2} \ sum_ {j = 1} ^ {2} \ sum_ {k = 1} ^ {2} S_ {ki} (S ^ {- 1}) _ {ij} A_ {jk} = \ sum_ {j = 1} ^ {2} \ sum_ {k = 1} ^ {2} (SS ^ {- 1}) _ {kj} A_ {jk} = \ sum_ {j = 1 } ^ {2} \ sum_ {k = 1} ^ {2} I_ {kj} A_ {jk} = \ sum_ {j = 1} ^ {2} \ sum_ {k = 1} ^ {2} \ delta_ { kj} A_ {jk} = \ sum_ {k = 1} ^ {2} A_ {kk} = Tr (A), [/ math] donde I es la matriz de identidad y [math] \ delta_ {kj} [/ math ] es el delta de Kronecker [matemáticas]. [/ matemáticas]

Entonces, obtenemos [math] Tr (\ Delta) = \ sum_ {k = 1} ^ {2} A_ {kk} = Tr (A) [/ math] . Por lo tanto, [math] Tr (A) = a_ {11} + a_ {22} = \ lambda_ {1} + \ lambda_ {2} [/ math].

Answer 2

Para las matrices [math] 2 \ times 2 [/ math], esto no es difícil.

Observa eso

[matemáticas] \ det (xI – A) = (x- \ lambda_1) (x- \ lambda_2) = x ^ 2 – (\ lambda_1 + \ lambda_2) x + (\ lambda_1 \ lambda_2) [/ math].

Por otra parte,

[matemáticas] \ det (xI – A) = \ begin {vmatrix} (x-a_ {11}) & -a_ {12} \\ -a_ {21} & (x-a_ {22}) \ end {vmatrix }[/matemáticas]

[matemáticas] = (x-a_ {11}) (x-a_ {22}) – a_ {12} a_ {21} [/ matemáticas]

[matemáticas] = x ^ 2 – (a_ {11} + a_ {22}) x + (a_ {11} a_ {22} -a_ {12} a_ {21}) [/ matemáticas]

[matemáticas] = x ^ 2 – \ textrm {tr} (A) \, x + \ det (A). [/ matemáticas]

Al comparar los coeficientes, [math] \ textrm {tr} (A) = \ lambda_1 + \ lambda_2 [/ math], según sea necesario.

(Como resultado adicional, también hemos demostrado que [math] \ det (A) = \ lambda_1 \ lambda_2 [/ math].)

Answer 3

La cara de una matriz cuadrada es lineal y, además, la traza de un producto depende solo de los productos por elementos de las entradas diagonales de las matrices que se multiplican, de modo que se cumplen todas las siguientes propiedades:

• [math] \ operatorname {tr} (A + B) = \ operatorname {tr} (A) + \ operatorname {tr} (B) [/ math]
• [math] \ operatorname {tr} (cA) = c \ cdot \ operatorname {tr} (A) [/ math]
• [math] \ operatorname {tr} (AB) = \ operatorname {tr} (BA) [/ math]

Dada esta última propiedad, es fácil demostrar que la raza no tiene similitudes. Es decir, dos matrices similares tienen el mismo rastro:

[math] \ operatorname {tr} (P ^ {- 1} AP) = \ operatorname {tr} (P ^ {- 1} (AP)) = \ operatorname {tr} ((AP) P ^ {- 1} ) = \ operatorname {tr} (A (PP ^ {- 1})) = \ operatorname {tr} (A) [/ math]

Pero, cada matriz cuadrada es similar a su forma de Jordan, una matriz triangular superior que tiene λ1, …, λn en la diagonal principal. Por lo tanto, la traza de una matriz cuadrada es la suma de sus valores propios.

Answer 4

Desarrolle el polinomio característico det (A-xI) y calcule el coeficiente de x.