Al principio, el espacio dual [matemático] E ^ * [/ matemático] de un espacio vectorial [matemático] E [/ matemático] puede parecer aburrido, ya que es solo [matemático] \ mathscr {L} (E, \ mathbb {K })[/matemáticas].
Sus objetos se llaman formas lineales, y existe un isomorfismo (con un factor de escala) entre las formas lineales y los hiperplanos, ya que cada hiperplano es el espacio nulo de una forma lineal distinta de cero, etc.
No hay isomorfismo canónico entre [matemáticas] E [/ matemáticas] y [matemáticas] E ^ * [/ matemáticas], ya que depende de la elección de una base.
Vayamos un paso más allá y preguntémonos qué es [matemática] E ^ {**} [/ matemática]. Bueno, ahora hay un isomorfismo canónico entre [matemáticas] E [/ matemáticas] y [matemáticas] E ^ {**} [/ matemáticas], y es [matemáticas] \ varphi (x) = \ chi \ mapsto (x \ mapsto \ chi (x)) [/ math]. Escribimos [math] E \ cong E ^ {**} [/ math], y trataremos los elementos de [math] E ^ {**} [/ math] como si fueran vectores.
- ¿Cuál es la importancia de que un sistema numérico sea un campo?
- ¿Cuál es el valor esperado de un vector N-dim de randoms uniformes que suman 1 ordenados en orden descendente?
- ¿Hay alguna forma de acceder al material del curso del CME 302 (Álgebra lineal numérica) de Stanford para aquellos que no están asociados con la escuela?
- ¿Por qué importan los valores propios? ¿Cuáles son sus aplicaciones en el mundo real?
- ¿Por qué necesitamos espacios vectoriales infinitos en física?
Ahora la parte interesante son los tensores, que es una forma de formalizar el álgebra multilineal como lo hacemos con las matrices. Un tensor es una aplicación multilineal desde [math] E \ times \ ldots \ times E \ times F \ times \ ldots \ times F [/ math] a [math] \ mathbb {K} [/ math], que es multilineal formar. Nos especializamos en [matemáticas] F [/ matemáticas] tomando [matemáticas] F = E ^ * [/ matemáticas], que es la forma más interesante de hacerlo.
Entonces llamemos a [math] \ begin {align *} T_ {pq} & = \ mathscr {L} (E \ times \ ldots \ times E \ times E ^ {*} \ times \ ldots \ times E ^ {*} , \ mathbb {K}): = E ^ * \ otimes \ ldots \ otimes E ^ * \ otimes E ^ {**} \ otimes \ ldots \ otimes E ^ {**} \\ & \ cong E ^ * \ otimes \ ldots \ otimes E ^ * \ otimes E \ otimes \ ldots \ otimes E \ end {align *} [/ math].
Donde [math] E ^ * [/ math] aparece [math] p [/ math] veces y [math] E [/ math] aparece [math] q [/ math] veces.
Un tensor [matemático] \ en T_ {1,0} [/ matemático] ingresa un elemento desde [matemático] E [/ matemático] y genera un escalar: es una forma lineal. Un tensor [matemático] \ en T_ {0,1} [/ matemático] ingresa un elemento desde [matemático] E ^ * [/ matemático] y genera un escalar: es una forma lineal en el espacio de formas lineales, que es identificado canónicamente al espacio vectorial.
Ahora veamos qué significa esto [math] \ otimes [/ math]. Si [math] f [/ math] y [math] g [/ math] son formas lineales (es decir, elementos del producto tensorial [math] T_ {1,0} [/ math]), entonces [math] f \ otimes g [/ math] es un tensor [math] (2, 0) [/ math] y [math] (f \ otimes g) (x, y): = f (x) g (y) [/ matemáticas]. Puedes adivinar el comportamiento general de [math] \ otimes [/ math].
Un tensor [matemático] T \ en T_ {pq} [/ matemático] está completamente determinado por su acción sobre una base. Tomemos [math] (e_1, \ ldots, e_n) [/ math] una base de [math] E [/ math] y [math] (e ^ 1, \ ldots, e ^ n) [/ math] el doble base de [matemáticas] E [/ matemáticas]. Deje [math] x_1, \ ldots, x_p \ en E [/ math] y [math] \ alpha_1, \ ldots, \ alpha_q \ en E ^ * [/ math].
Llamemos también a [math] e_i [/ math] la aplicación que obtiene el componente [math] i [/ math] th de un vector, y [math] e ^ j [/ math] la aplicación que obtiene el [math] j [/ math] th componente de un vector (sí, es problemático).
[matemáticas] \ begin {align *} T (x_1, \ ldots, x_p, \ alpha_1, \ ldots, \ alpha_q) & = \ displaystyle \ sum_ \ stackrel {i_1, \ ldots, i_p} {j_1, \ ldots, j_q } x ^ {(i_1)} _ 1 \ ldots x ^ {(i_p)} _ n \ alpha ^ {(j_1)} _ 1 \ ldots \ alpha ^ {(j_q)} _ nT (e_ {i_1}, \ ldots, e_ { i_p}, e ^ {j_1}, \ ldots, e ^ {j_q}) \\ & = \ displaystyle \ sum_ \ stackrel {i_1, \ ldots, i_p} {j_1, \ ldots, j_q} T_ {i_1 \ ldots i_p } ^ {j_1 \ ldots j_q} (e ^ {i_1} \ otimes \ ldots \ otimes e ^ {i_p} \ otimes e_ {j_1} \ otimes \ ldots \ otimes e_ {j_q}) (x_1, \ ldots, x_p, \ alpha_1, \ ldots, \ alpha_q) \ end {align *} [/ math]
Entonces escribimos [matemáticas] T = \ displaystyle \ sum_ \ stackrel {i_1, \ ldots, i_p} {j_1, \ ldots, j_q} T_ {i_1 \ ldots i_p} ^ {j_1 \ ldots j_q} \, e ^ {i_1 } \ otimes \ ldots \ otimes e ^ {i_p} \ otimes e_ {j_1} \ otimes \ ldots \ otimes e_ {j_q} [/ math]. Las [matemáticas] e ^ {i_1} \ otimes \ ldots \ otimes e_ {j_q} [/ matemáticas] constituyen la base de [matemáticas] T_ {pq} [/ matemáticas].
Entonces [math] T [/ math] es como una matriz de tamaño [math] n ^ p \ times n ^ q [/ math]! Y, de hecho, existe una correspondencia entre las matrices y los tensores [matemáticos] (1, 1) [/ matemáticos]. Creo que es una generalización maravillosa, y se comporta de manera similar a las matrices (puede cambiar la base y otras cosas). No se deje abusar por el hecho de que son aplicaciones “solo” de algo a un campo escalar, porque usamos isomorfismos como [matemáticas] E \ cong E ^ {**} [/ matemáticas] todo el tiempo para identificar tensores a otros objetos.