La palabra álgebra (además de denotar una disciplina matemática) se usa para denotar diferentes tipos de objetos:
En la noción más común, un álgebra es un espacio vectorial que también tiene una multiplicación que lo convierte en un anillo de tal manera que la multiplicación es de alguna manera definida compatible con la multiplicación escalar. Las matrices cuadradas de un grado dado son un ejemplo de álgebra sobre, por ejemplo, los números reales.
Luego, están las personas que hacen “álgebra universal”. Definen el álgebra como cualquier tipo de estructura que tenga varias operaciones internas o externas. Entonces un álgebra es una abreviatura de “estructura algebraica”. Un álgebra en el primer sentido, así como un grupo son tipos especiales de álgebras de esta manera.
Un grupo es una estructura algebraica con una operación binaria, una operación de inversión (una operación unaria) y un elemento neutro (una operación nular), que cumple algunas reglas (por ejemplo, asociatividad de la operación binaria). Un álgebra en el primer sentido es una estructura algebraica con dos operaciones binarias internas, dos unarias (una definida en todos los elementos excepto uno) y dos nulares, más una operación externa con un campo (que es nuevamente una estructura algebraica), y un montón de leyes de compatibilidad.
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