¿Qué significa cuando las matrices “conmutan”?

Answer 1

Si piensa en los números naturales (o los números enteros o los números reales, o incluso los números complejos), cuando multiplica dos de ellos, no importa en qué orden escriba el producto. Por ejemplo, [math] 5 \ times3 = 3 \ times5 [/ math]. Esto se llama propiedad conmutativa .

Con las matrices, la propiedad conmutativa falla en general. Por ejemplo, si [math] A [/ math] es una matriz [math] 4 \ times6 [/ math], y [math] B [/ math] es [math] 6 \ times4 [/ math], entonces el producto [math] AB [/ math] es una matriz [math] 4 \ times4 [/ math], mientras que el producto [math] BA [/ math] es una matriz [math] 6 \ times6 [/ math] totalmente diferente. Cuando multiplicas matrices, el orden importa. En general, [matemáticas] AB \ neq BA [/ matemáticas].

Cuando dos matrices A y B son tales que el orden no importa al multiplicarlas, se dice que conmutan. Es decir, la propiedad conmutativa “es verdadera” para el caso particular de [math] AB = BA [/ math]. Te dejaré preguntarte por qué este hecho podría ser importante.

Answer 2

Si las matrices A y B conmutan, entonces AB = BA. Esto no es cierto en general.

Answer 3

Si dos matrices A y B satisfacen los criterios AB = BA, entonces se dice que conmutan.

En una nota diferente, dos matrices conmutan si son diagonalizables simultáneamente.