¿Demuestra que los valores propios de una matriz triangular son los elementos diagonales de la matriz?

Answer 1

Una matriz triangular se puede escribir como

[matemáticas] T = \ begin {pmatrix} a_1 & & & * \\ & a_2 & & \\ & & \ ddots & \\ 0 & & & a_n \ end {pmatrix}. [/ math]

(o como la transposición de la matriz anterior). El polinomio característico de [math] T [/ math] tiene la forma

[matemáticas] \ det (xI – T) = \ begin {vmatrix} (x-a_1) & & & * \\ & (x-a_2) & & \\ & & \ ddots & \\ 0 & & & (x -a_n) \ end {vmatrix}, [/ math]

es decir, es el determinante de otra matriz triangular. El determinante de una matriz triangular es el producto de sus entradas diagonales (esto se puede probar directamente mediante la expansión del determinante de Laplace). Así

[matemáticas] \ det (xI – T) = \ displaystyle \ prod_ {i = 1} ^ n (x-a_i). [/ matemáticas]

Claramente, las raíces de [math] \ det (xI – T) [/ math] son ​​las entradas diagonales de [math] T [/ math], así que hemos terminado.

Answer 2

En primer lugar: ¿cuál es el determinante de una matriz triangular? Desarrollando a lo largo de la primera columna obtienes [math] a_ {11} \ det (A_ {11} ‘), [/ math] donde [math] A_ {11}’ [/ math] es el menor que obtienes al tachar el primera fila y columna de [math] A. [/ math] Pero [math] A_ {11} ‘[/ math] también es una matriz triangular. Desarrollando a lo largo de la primera columna obtienes [math] a_ {22} \ det A_ {22} ‘, [/ math] donde [math] A_ {22}’ [/ math] es el menor que obtienes al tachar la primera fila y columna de [math] A_ {22} ‘. [/ math] Continuando de esta manera, verá que [math] \ det (A) = a_ {11} a_ {22} … a_ {n-1, n- 1}, a_ {nn}. [/ Math]

Ahora los valores propios de [math] A [/ math] están dados por el polinomio [math] \ det (A- \ lambda I) = 0. [/ math] Pero esto nuevamente es una matriz triangular, esta vez con elementos diagonales [ math] (a_ {ii} – \ lambda). [/ math] Entonces su polinomio ya ha sido convenientemente factorizado:

[matemáticas] (a_ {11} – \ lambda) (a_ {22} – \ lambda)… (a_ {nn} – \ lambda) = 0 [/ matemáticas]

Y los ceros son los elementos diagonales de [matemáticas] A. [/ Matemáticas]

Answer 3

Suponga que [math] A [/ math] es una matriz cuadrada amxm, entonces tiene una descomposición de Schur

[matemáticas] A = QTQ ^ {*} [/ matemáticas]

ahora esta matriz T

es triangular superior y similar a A y los valores propios son diagonales.

Voy a demostrar esto ahora

Teorema 24.9: cada matriz cuadrada tiene una factorización de Schur

Procedemos por inducción en la dimensión de m de A. Aquí el caso m = 1 es trivial. Suponga que [math] m \ geq 2 [/ math] Sea x cualquier vector propio con un valor propio correspondiente [math] \ lambda [/ math] tome x para normalizarse y deje que sea la primera columna de una matriz unitaria U. Aquí

[matemáticas] U ^ {*} AU = \ begin {bmatrix} \ lambda & B \\ 0 & C \ end {bmatrix} [/ math]

por inducción, existe una factorización de schur [matemática] VTV ^ {*} [/ matemática] de C

Esto implica [matemática] C = VTV ^ {*}, V ^ {*} CV = T [/ matemática]

[matemáticas] Q = U \ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & V \ end {bmatrix} [/ math]

esta es una matriz unitaria

[matemáticas] Q ^ {*} AQ = \ begin {bmatrix} \ lambda & BV \\ 0 & T \ end {bmatrix} [/ math]

Esta es la factorización de Schur. Ahora BV es 0.