Necesita hacer una proyección ortogonal en su hiperplano: llamemos [math] p (u) [/ math] al proyector ortogonal en el hiperplano y usted tiene [math] \ min \ limits_ {v \ in U} \ | uv \ | _2 = \ | arriba (u) \ | _2 [/ matemáticas]. Para encontrar el proyector ortogonal, debe ortogonalizar su base, utilizando el algoritmo Gram-Schmidt.
Nuestra base inicial es [matemáticas] (e_1, e_2, e_3) [/ matemáticas] y es lo que escribió.
Deje [math] h_1 = e_1 [/ math] (inicializando el algoritmo).
Ahora queremos que [math] h_2 [/ math] sea ortogonal a la línea paralela a [math] h_1 [/ math], para ello restamos la proyección de [math] e_2 [/ math] a la línea, que debe ser dirigido por un vector unitario .
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Entonces [matemáticas] h_2 = e_2 – \ left (e_2 \ middle | \ dfrac {h_1} {\ | h_1 \ | _2} \ right) \ dfrac {h_1} {\ | h_1 \ | _2} = e_2 – \ dfrac { (e_2 | h_1)} {(h_1 | h_1)} h_1 [/ math]
Y lo mismo para [matemáticas] h_3 = e_3 – \ left (e_3 \ middle | \ dfrac {h_2} {\ | h_2 \ | _2} \ right) \ dfrac {h_2} {\ | h_2 \ | _2} = e_3 – \ dfrac {(e_2 | h_2)} {(h_2 | h_2)} h_2 [/ math]
Ahora deje que [math] u_1 = \ dfrac {h_1} {\ | h_1 \ | _2}, u_2 = \ dfrac {h_2} {\ | h_2 \ | _2} [/ math] y [math] u_3 = \ dfrac {h_3 } {\ | h_3 \ | _2} [/ math]. ¡Tenemos nuestra base ortogonal!
Entonces [math] \ min \ limits_ {v \ in U} \ | uv \ | _2 = \ | up (u) \ | _2 [/ math], con [math] p (u) = \ sum \ left (u \ middle | u_i \ right) u_i [/ math].
Aquí [math] (u | v) [/ math] designa el producto escalar canónico, el asociado a la norma euclidiana [math] \ | \ cdot \ | _2 [/ math].
Mi computadora dice que:
[matemáticas] (u_1, u_2, u_3) = \ left [\ left (\ frac {1} {2} \, \ sqrt {2}, \, 0, \, \ frac {1} {2} \, \ sqrt {2}, \, 0 \ right), \ left (\ frac {1} {5} \, \ sqrt {\ frac {5} {2}}, \, \ frac {2} {5} \, \ sqrt {\ frac {5} {2}}, \, – \ frac {1} {5} \, \ sqrt {\ frac {5} {2}}, \, \ frac {2} {5} \ , \ sqrt {\ frac {5} {2}} \ right), \ left (\ frac {6} {13} \, \ sqrt {\ frac {13} {5}}, \, – \ frac {3 } {13} \, \ sqrt {\ frac {13} {5}}, \, \ frac {4} {13} \, \ sqrt {\ frac {13} {5}}, \, \ frac {2 } {13} \, \ sqrt {\ frac {13} {5}} \ right) \ right] [/ math]
Y que [matemáticas] p (u) = \ left (\ frac {29} {13}, \, \ frac {5} {13}, \, \ frac {15} {13}, \, \ frac {14 } {13} \ derecha) [/ matemáticas]
Y así, la norma mínima sería [matemáticas] \ | up (u) \ | _2 = \ dfrac {5} {\ sqrt {13}} [/ matemáticas]