¿Por qué Q no es un subespacio de un espacio de vector R sobre números reales?

Answer 1

Asumiré que la pregunta intenta preguntarse: “¿Por qué [math] \ mathbb {Q} [/ math] no es un subespacio vectorial de [math] \ mathbb {R} [/ math], tomado como un espacio vectorial sobre [math] \ mathbb {R} [/ math]? ”

Primero, notaré que [math] \ mathbb {Q} [/ math] es un subespacio vectorial de [math] \ mathbb {R} [/ math], tomado como un espacio vectorial sobre [math] \ mathbb {Q }[/matemáticas]. Entonces la pregunta es: ¿cuál es la diferencia?

Bueno, si tomamos [math] \ mathbb {R} [/ math] como un espacio vectorial (infinito dimensional) [math] \ mathbb {Q} [/ math], entonces las reglas de ser un subespacio requieren estar cerradas bajo suma y multiplicación por números racionales . Por el contrario, si tomamos [math] \ mathbb {R} [/ math] como un espacio vectorial (unidimensional) [math] \ mathbb {R} [/ math], entonces las reglas de ser un subespacio requieren estar cerradas bajo suma y multiplicación por números reales .

Claramente, [math] \ mathbb {Q} [/ math] se cierra bajo multiplicación por números racionales, pero no por números reales; por lo tanto, es un subespacio racional, pero no un subespacio real.

Answer 2

Los subespacios deben cerrarse bajo escala (equiv. Combinaciones lineales).

Toma 1 [math] \ in \ mathbb Q [/ math] (tómalo, por favor) y multiplícalo

por [math] \ sqrt {3} [/ math] el resultado, [math] \ sqrt {3} [/ math] en sí,

No es racional.