Sabemos que [math] \ mathrm {dim} (U ^ \ perp \ cup U) = \ mathrm {dim} (\ mathbb {R} ^ 5) = 5 [/ math]. Y [math] \ mathrm {dim} (U) = 2 [/ math]. Entonces [math] \ mathrm {dim} (U ^ \ perp) = 3. [/ Math]
Ahora, solo necesitamos tres vectores linealmente independientes en [math] \ mathbb {R} ^ 5 [/ math] que generan [math] U ^ \ perp [/ math] para que para cada [math] x \ in U [/ matemática] y cada [matemática] y \ en U ^ \ perp [/ matemática], [matemática] \ langle x, y \ rangle = 0 [/ matemática]. Por inspección, tenemos:
[matemáticas] (0,1,0,2,0) ^ T, (1,0,2,9,1) ^ T, (2, -9,4,0,2) ^ T, [/ matemáticas]
que forman una base para [matemáticas] U ^ \ perp [/ matemáticas].
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EDITAR : Supongo que debería describir el significado de “inspección” aquí. No necesitamos molestarnos con Gram Schmidt o las matrices y la reducción de filas si se nos dan buenos vectores como estos.
Deje [math] x_1 = (1,2,3, -1,2) ^ T [/ math] y [math] x_2 = (1,0, -1,0,1) ^ T [/ math].
Observe que cualquier vector de la forma [math] y_1 = (0, a_1,0, a_2,0) ^ T [/ math] es ortogonal a [math] x_2 [/ math], porque cada entrada alcanzará un cero al realizar el producto punto [matemática] x_2 \ cdot y_1 [/ matemática]. Ahora, mire [math] x_1 [/ math], cuando tomamos el producto de punto [math] x_1 \ cdot y_1 [/ math] terminamos con [math] 2a_1 + (- 1) a_2 = 0 [/ math]. Entonces [math] (0,1,0,2,0) ^ T [/ math] es ortogonal tanto para [math] x_1 [/ math] como para [math] x_2 [/ math].
Para obtener los otros, observe cualquier vector de la forma [math] y_2 = (b, 0,2b, 0, b) ^ T [/ math] nos dará [math] x_2 \ cdot y_2 = 0 [/ math]. Ahora, lo más fácil para jugar mentalmente es cuando [matemáticas] b = 1 [/ matemáticas]: [matemáticas] y_ {2_1} = (1,0,2,0,1) ^ T [/ matemáticas]. Esto es ortogonal a [math] x_2 [/ math], pero no funcionará con [math] x_1 [/ math], porque obtenemos [math] x_1 \ cdot y_ {2_1} = 9 [/ math]. Para solucionar esto, podemos poner [matemáticas] 9 [/ matemáticas] en la cuarta entrada de [matemáticas] y_ {2_1} [/ matemáticas] (no hay nada en la cuarta entrada de [matemáticas] x_2 [/ matemáticas], así que estamos todavia bien). Esto nos da el segundo vector que necesitamos [matemáticas] (1,0,2,9,1) ^ T [/ matemáticas].
Para obtener el tercero, haga lo mismo pero use la segunda entrada de [math] y_ {2} [/ math] —escala mentalmente el vector [math] (1,0,2,0,1) ^ T [/ math] to [math] y_ {2_2} = (2,0,4,0,2) ^ T [/ math], que nos permite evitar fracciones, y todavía es ortogonal a [math] x_2 [/ math]. Obtenemos [matemáticas] x_1 \ cdot y_ {2_2} = 18 [/ matemáticas]. Al poner [math] -9 [/ math] en la segunda entrada de [math] y_ {2_2} [/ math] se soluciona este problema: [math] (2, -9,4,0,2) ^ T [/ math ] Y ahí lo tenemos.