Cómo encontrar una base de complemento ortogonal [matemática] U ^ \ perp [/ matemática] de [matemática] U [/ matemática] y determinar la dimensión de [matemática] U ^ \ perp [/ matemática]

Sabemos que [math] \ mathrm {dim} (U ^ \ perp \ cup U) = \ mathrm {dim} (\ mathbb {R} ^ 5) = 5 [/ math]. Y [math] \ mathrm {dim} (U) = 2 [/ math]. Entonces [math] \ mathrm {dim} (U ^ \ perp) = 3. [/ Math]

Ahora, solo necesitamos tres vectores linealmente independientes en [math] \ mathbb {R} ^ 5 [/ math] que generan [math] U ^ \ perp [/ math] para que para cada [math] x \ in U [/ matemática] y cada [matemática] y \ en U ^ \ perp [/ matemática], [matemática] \ langle x, y \ rangle = 0 [/ matemática]. Por inspección, tenemos:

[matemáticas] (0,1,0,2,0) ^ T, (1,0,2,9,1) ^ T, (2, -9,4,0,2) ^ T, [/ matemáticas]

que forman una base para [matemáticas] U ^ \ perp [/ matemáticas].


EDITAR : Supongo que debería describir el significado de “inspección” aquí. No necesitamos molestarnos con Gram Schmidt o las matrices y la reducción de filas si se nos dan buenos vectores como estos.

Deje [math] x_1 = (1,2,3, -1,2) ^ T [/ math] y [math] x_2 = (1,0, -1,0,1) ^ T [/ math].

Observe que cualquier vector de la forma [math] y_1 = (0, a_1,0, a_2,0) ^ T [/ math] es ortogonal a [math] x_2 [/ math], porque cada entrada alcanzará un cero al realizar el producto punto [matemática] x_2 \ cdot y_1 [/ matemática]. Ahora, mire [math] x_1 [/ math], cuando tomamos el producto de punto [math] x_1 \ cdot y_1 [/ math] terminamos con [math] 2a_1 + (- 1) a_2 = 0 [/ math]. Entonces [math] (0,1,0,2,0) ^ T [/ math] es ortogonal tanto para [math] x_1 [/ math] como para [math] x_2 [/ math].

Para obtener los otros, observe cualquier vector de la forma [math] y_2 = (b, 0,2b, 0, b) ^ T [/ math] nos dará [math] x_2 \ cdot y_2 = 0 [/ math]. Ahora, lo más fácil para jugar mentalmente es cuando [matemáticas] b = 1 [/ matemáticas]: [matemáticas] y_ {2_1} = (1,0,2,0,1) ^ T [/ matemáticas]. Esto es ortogonal a [math] x_2 [/ math], pero no funcionará con [math] x_1 [/ math], porque obtenemos [math] x_1 \ cdot y_ {2_1} = 9 [/ math]. Para solucionar esto, podemos poner [matemáticas] 9 [/ matemáticas] en la cuarta entrada de [matemáticas] y_ {2_1} [/ matemáticas] (no hay nada en la cuarta entrada de [matemáticas] x_2 [/ matemáticas], así que estamos todavia bien). Esto nos da el segundo vector que necesitamos [matemáticas] (1,0,2,9,1) ^ T [/ matemáticas].

Para obtener el tercero, haga lo mismo pero use la segunda entrada de [math] y_ {2} [/ math] —escala mentalmente el vector [math] (1,0,2,0,1) ^ T [/ math] to [math] y_ {2_2} = (2,0,4,0,2) ^ T [/ math], que nos permite evitar fracciones, y todavía es ortogonal a [math] x_2 [/ math]. Obtenemos [matemáticas] x_1 \ cdot y_ {2_2} = 18 [/ matemáticas]. Al poner [math] -9 [/ math] en la segunda entrada de [math] y_ {2_2} [/ math] se soluciona este problema: [math] (2, -9,4,0,2) ^ T [/ math ] Y ahí lo tenemos.

Seré un poco más explícito que los otros chicos, aunque lo que han dicho es perfectamente adecuado.

La dimensión de U-perp debe ser la dimensión del subespacio completo R ^ 5 (que es 5) menos la dimensión de U.

Dado que U está atravesado por dos vectores que obviamente no son simples múltiplos entre sí, U tiene dimensión 2. Por lo tanto, U-perp tiene dimensión 5 – 2 = 3.

Para generar una base para U-perp:

Definir

a = (1,2,3, -1,2) T; tenga en cuenta que aa = 1 + 4 + 9 + 1 + 4 = 19

b = (1,0, -1,0,1) T; tenga en cuenta que bb = 1 + 0 + 1 + 0 + 1 = 3

ab = 1 + 0 – 3 + 0 + 2 = 0

Tenga en cuenta que ayb son mutuamente ortogonales. Entonces ya tenemos una base ortogonal para U: {a, b}

Para construir uno para U-perp:

  1. comience con el vector u1 = (1,0,0,0,0) T:
  1. (1,0,0,0,0) Ta = 1; define v1 = u1 – a (a.u1) / (aa) = u1 – a (1/19)
  2. Observe que v1.a = u1.a – aa (1/19) = 1 – 19 (1/19) = 1 – 1 = 0.
  3. Defina w1 = v1 – b (b.v1) / (bb) = v1 – b (b.u1 – ba (1/19)) / 3 = v1 – b (1/3).
  4. Observe que w1 = v1 – b / 3 = u1 – a / 19 – b / 3; y que w1.b = (1 – 0 – (3/3)) = 0; y w1.a = (1 – (19/19) – 0) = 0. Entonces w1 es un vector que está en U-perp. Cómo se ve? w1 = (1,0,0,0,0) – (1 / 3,0, -1 / 3,0,1 / 3) – (1 / 19,2 / 19,3 / 19, -1 / 19 , 2/19) = (1 – 1/3 – 1/19, -2/19, 1/3 – 3/19, 1/19, -1/3 – 2/19). Podemos reescalarlo multiplicando todos los componentes por 3 * 19: Entonces obtenemos 57 * w1 = (57-19-3, -6, 19-9, 3, -19-6) = (45, -6, 10, 3, -25). Entonces podemos usar esto para nuestro primer vector base construido para U-perp. Podemos llamarlo 1.
  • Del mismo modo, podemos definir u2 = (0,1,0,0,0,0) y v2 = u2 – a (a.u2) / (aa), w2 = v2 – b (b.v2) / (bb) y z2 = w2 – up1 (up1.w2) / (up1.up1). O z2 será ortogonal a a, b y up1, en cuyo caso podemos reescalarlo y llamar al resultado “up2”; o será cero, en cuyo caso comenzamos a construir con u3 en lugar de u2.
  • De esta manera procedemos a desarrollar un vector base a la vez; por construcción, cada nuevo vector es ortogonal a los vectores de base definidos que lo precedieron. Habrá exactamente 3 vectores básicos nuevos, incluso si prueba los 5 vectores básicos u1 a u5: dos de ellos se pondrán a cero en el procedimiento.
  • Este procedimiento es básicamente el procedimiento de Gram-Schmidt; pero probablemente un poco menos elegante de lo habitual, y dirigido a este problema de R ^ 5.
  • Prueba la ortonormalización de Gram-Schmidt. Primero, encuentre tres vectores para extender la base de [math] U [/ math] a una base de [math] \ mathbf {R} ^ 5 [/ math], por prueba y error. Los primeros tres vectores básicos estándar funcionan en este caso (para comprobar eso, acabo de comprobar que las coordenadas 4 y 5 de los vectores base originales, es decir [matemáticas] (- 1,2) [/ matemáticas] y [matemáticas] ( 0,1) [/ math] span [math] \ mathbf {R} ^ 2 [/ math]). Luego aplique Gram-Schmidt. Terminará con una base ortonormal para [math] \ mathbf {R} ^ 5 [/ math] en la que los primeros dos vectores de base abarcan [math] U [/ math]. Los tres vectores de base restantes son ortogonales a [matemática] U [/ matemática], es decir, se encuentran en [matemática] U ^ T. [/ Matemática] Por lo tanto, forman una base para [matemática] U ^ T [/ matemática] .

    En realidad, no es estrictamente necesario utilizar la ortonormalización completa de Gram-Schmidt. Una vez que haya extendido su base original a una base para [math] \ mathbf {R} ^ 5 [/ math] solo tiene que hacer que los tres vectores de base adicionales sean ortogonales a [math] U [/ math], encontrando su proyecciones sobre [matemáticas] U [/ matemáticas] y restando.

    Aparentemente solo puedo responder la pregunta una vez, así que permítanme señalar también otro enfoque que puede ser más familiar. La condición de ser ortogonal a [matemática] U [/ matemática] puede expresarse mediante las ecuaciones lineales

    [matemáticas] x_1 + 2x_2 + 3x_3-x_4 + 2x_5 = 0 [/ matemáticas]

    [matemáticas] x_1-x_3 + x_5 = 0 [/ matemáticas]

    Entonces está buscando una base para el espacio de solución para esas ecuaciones. Puede escribir en forma matricial y utilizar la eliminación gaussiana. Si tuviera que escribir un programa de computadora para hacer esto, ese es probablemente el enfoque que usaría.