Cómo configurar el vector [math] \ vec {v} = (0, 0, 1, 0, 0) ^ T [/ math] como [math] \ vec {\ vec {v}} = \ vec {u} + \ vec {w} [/ math] con [math] \ vec {u} \ en U [/ math] y [math] \ vec {w} \ en U ^ \ perp [/ math]

Answer 1

Te daré ciertos pasos y sugerencias, pero no voy a hacer los cálculos.

Deje que [math] U [/ math] sea un subespacio de [math] \ mathbb {R} ^ 5 [/ math], abarcado por [math] u_1 = (1,2,3, -1,2) ^ T [ / math] y [math] u_2 = (1,0, -1,0,1) ^ T [/ math]. Tenga en cuenta que [matemáticas] u_1 ^ Tu_2 = 0. [/ Matemáticas]

[math] U ^ \ perp [/ math] es el complemento ortogonal de [math] U [/ math].

Deje que [math] A \ in \ mathbb {R} ^ {5 \ times 2} [/ math] con [math] A: = \ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \\ 3 & -1 \ \ -1 & 0 \\ 2 & 1 \ end {bmatrix}. [/ Math]

Como [math] U = \ text {col} (A) [/ math], tenemos [math] U ^ \ perp = \ text {null} (A ^ T) [/ math]. Encuentre el espacio nulo [math] \ text {null} (A ^ T) [/ math] (o una base para [math] \ text {null} (A ^ T) [/ math]) usando la eliminación gaussiana. Deje que [math] w_1 [/ math], [math] w_2 [/ math] y [math] w_3 [/ math] sean tres vectores en una base para [math] \ text {null} (A ^ T) [/ math ] Estos vectores también son una base para el subespacio [matemático] U ^ \ perp [/ matemático].

Una vez que tenga los vectores de base para [matemáticas] U [/ matemáticas] y [matemáticas] U ^ \ perp [/ matemáticas], escriba [matemáticas] v = [/ matemáticas] [matemáticas] (0, 0, 1, 0, 0) ^ T [/ matemáticas] como:

[matemática] v = (c_1u_1 + c_2u_2) + (c_3w_1 + c_4w_2 + c_5w_3) [/ matemática].

Resuelva el sistema lineal anterior para obtener [math] c_i’s. [/ Math]

Según su pregunta, tendremos [matemática] u = c_1u_1 + c_2u_2 [/ matemática] y [matemática] w = c_3w_1 + c_4w_2 + c_5w_3 [/ matemática] con [matemática] u \ en U [/ matemática] y [matemática ] w \ en U ^ \ perp [/ math].

Creo que el enfoque anterior es un poco más largo, pero es claro de entender.

Alternativamente, después de encontrar [math] w_1 [/ math], [math] w_2 [/ math] y [math] w_3 [/ math], puede usar el proceso Gram_Schmidt (Ver proceso Gram-Schmidt) para obtener la base orto-normal [math] w_1 ^ {\ prime} [/ math], [math] w_2 ^ {\ prime} [/ math] y [math] w_3 ^ {\ prime} [/ math]. Como [math] u_1 [/ math] y [math] u_2 [/ math] ya son ortogonales, normalícelos (divídalos por sus respectivas normas) para obtener vectores orto-normales [math] u_1 ^ {\ prime} [ / math] y [math] u_2 ^ {\ prime} [/ math].

Ahora escriba [math] v = (c_1u_1 ^ {\ prime} + c_2u_2 ^ {\ prime}) + (c_3w_1 ^ {\ prime} + c_4w_2 ^ {\ prime} + c_5w_3 ^ {\ prime}) [/ math].

Es mucho más fácil encontrar [math] c_i’s [/ math] ahora, porque todas las [math] u_i ^ {\ prime} [/ math] y [math] v_i ^ {\ prime} [/ math] son ​​orto -normal entre sí y por lo tanto [matemáticas] c_i = v ^ Tu_i ^ {\ prime} [/ matemáticas] para [matemáticas] 1 \ leq i \ leq 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] c_i = v ^ Tw_i ^ { \ prime} [/ math] para [math] 3 \ leq i \ leq 5 [/ math].

Esto puede parecer mejor que resolver el sistema de ecuaciones lineales, pero hay una sobrecarga en llevar a cabo el proceso Gram_Schmidt.