Mi respuesta es un poco larga, pero puede dar una idea de la importancia del álgebra vectorial.
Editar : Seetha Rama Raju Sanapala lo ha cubierto muy bien. Ha dado en el blanco. Lee su respuesta.
La importancia es múltiple. El álgebra vectorial ha evolucionado a partir de la necesidad de simplificar las cosas, por así decirlo. Si lees los viejos libros de geometría, rastrearías la evolución del álgebra vectorial.
Inicialmente había algo llamado álgebra de segmentos.
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- ¿Por qué estamos aprendiendo álgebra?
Da un significado directo a los desplazamientos y su adición.
Es importante tanto para la física como para las matemáticas.
- Las transformaciones geométricas se vuelven más fáciles de manejar.
- En primer lugar, puede obtener una visión rápida de la geometría. Algunos problemas en la geometría de coordenadas analíticas se vuelven fáciles de resolver.
- Los conceptos aprendidos son importantes para entender el álgebra lineal.
- En Física, el álgebra vectorial es útil para describir el movimiento plano y 3D y calcular trayectorias.
- Mecánica de partículas.
- Mecánica de fluidos.
- El electromagnetismo es un área importante donde los vectores son ampliamente utilizados. Maxwell había usado cuartones en lugar de vectores. Heaviside nos dio la forma moderna de las ecuaciones que son mucho más fáciles de manejar.
- Los conceptos de productos Dot y Cross son útiles para resolver problemas geométricos en 2 y 3 dimensiones.
- Las técnicas de álgebra vectorial se usan con tanta frecuencia como el álgebra en física y matemáticas. 😉
Me gustaría concluir con un ejemplo que demuestra cómo el álgebra vectorial es útil en Geometría analítica o coordinada.
Suponga que se le da una línea Ax + By = C. ¿Cómo encontraría la distancia entre el origen y la línea?
Solución: use la forma normal de la ecuación. He mostrado cómo derivar la forma normal usando métodos vectoriales. Mira la imagen
Denote el vector de origen O a P como [math] \ vec {p} [/ math]
Por lo tanto, el vector unitario a lo largo de [math] \ vec {p} [/ math] es [math] \ cos {\ alpha} \ hat {i} + \ sin {\ alpha} \ hat {j} [/ math]
[matemáticas] p = r \ cos {\ theta} [/ matemáticas]
Entonces haces [math] \ vec {r} \ cdot \ hat {p} [/ math] para obtener p.
Entonces te das cuenta de la importancia de A, B y C en Ax + By + C = 0.
A es la magnitud del vector paralelo al componente x del vector unitario en la dirección de [math] \ vec {p} [/ math].
Del mismo modo B en la dirección y.
Entonces [math] A \ hat {i} + B \ hat {j} [/ math] es un vector paralelo a [math] \ vec {p} [/ math].
Ahora, obtengamos los componentes de [math] \ hat {p} [/ math] dividiendo por la magnitud de [math] A \ hat {i} + B \ hat {j} [/ math] que es [math] \ sqrt {A ^ {2} + B ^ {2}}. [/ math]
Ahora divide Ax + By = C entre eso para obtener:
[matemáticas] \ frac {A} {\ sqrt {A ^ {2} + B ^ {2}}} x + \ frac {B} {\ sqrt {A ^ {2} + B ^ {2}}} y = \ frac {C} {\ sqrt {A ^ {2} + B ^ {2}}} [/ math]
Ahora compare la expresión anterior con [math] x \ cos {\ alpha} + y \ sin {\ alpha} = p [/ math]
Para que pueda obtener: [matemáticas] p = \ frac {C} {\ sqrt {A ^ {2} + B ^ {2}}} [/ matemáticas]
Esto es sólo un ejemplo. Los vectores también son muy útiles en geometría 3D. Hay muchos problemas complicados que se pueden resolver utilizando técnicas similares.
Allí el producto cruzado viene como un salvador :-).
Gracias por preguntar: Arun