Puedes probar eso por inducción. Comience mostrando
1-deje que H1 y H2 sean dos planos de V. Demuestre que [math] dim (H_1 \ bigcap H_2) \ ge dim (H_1) + dim (H_2) -n [/ math].
Con esto, verá que [matemática] se atenúa (H_1 \ bigcap H_2) \ ge n-1 + n-1 + n = n-2 [/ matemática]. Como [math] H_1 \ bigcap H_2 [/ math] es un subespacio de H1 y H2, con have [math] dim (H_1 \ bigcap H_2) = n-2 [/ math], de lo contrario H1 = H2 (ver mi comentario) .
2-La propiedad es verdadera para k = 2, ahora suponga que también es cierta para algunos k, es decir, [math] dim (H_1 \ bigcap H_2… \ bigcup H_k) \ ge nk [/ math].
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Definimos [math] F = H_1 \ bigcap H_2… \ bigcup H_k [/ math] y [math] dim (F) = m [/ math]. Deje que [math] H_ {k + 1} [/ math] sea otro hiperplano, entonces de acuerdo con 1, tenemos nuevamente:
[matemática] dim (F \ bigcap H2_ {k + 1}) \ ge dim (F) + dim (H_ {k + 1}) – n \ ge n-k + n-1-n = n- (k + 1) [/ matemáticas].
Esto es todo, probamos que [math] \ forall k \ ge 2, dim (\ bigcap_ {i = 1} ^ k H_i) \ ge nk [/ math].
NB: todavía necesitas probar 1