¿La transformación lineal del producto cruzado es diagonalizable?

Answer 1

Como señaló Yacine, el producto cruzado [math] \ wedge [/ math] no es lineal, por lo que no puede representarlo mediante una matriz simple como está acostumbrado.

Sin embargo, puede representarlo como una generalización de “matrices” para álgebra multilineal, es decir, tensores.

Llamemos a [math] \ varphi (u, v) = u \ wedge v [/ math]. Es una aplicación bilineal [math] \ mathbb {K} \ times \ mathbb {K} \ to \ mathbb {K} [/ math], por lo que puede representarse como un tensor de [math] \ mathbb {K} \ times \ mathbb {K} \ times \ mathbb {K} ^ * [/ math], dualidad sabia.

Entonces escribimos [math] \ varphi = \ sum \ limits_ {i, j, k} T_ {ij} ^ {\, \, k} \, e ^ i \ otimes e ^ j \ otimes e_k [/ math], donde [matemática] i [/ matemática], [matemática] j [/ matemática] y [matemática] k [/ matemática] van de [matemática] 1 [/ matemática] a [matemática] 3 [/ matemática]. Vamos a explicar la notación.

[matemáticas] e ^ i \ otimes e ^ j [/ matemáticas] es una función bilineal, tal que [matemáticas] (e ^ i \ otimes e ^ j) (e_k, e_l) = e ^ i (e_k) \ cdot e ^ j (e_l) = \ delta ^ i_k \ delta ^ k_l [/ math] donde [math] \ delta ^ i_j [/ math] es [math] 1 [/ math] es [math] i = j [/ math] de lo contrario 0.

Lo que realmente significan las [matemáticas] \ otimes e_k [/ matemáticas] no importa aquí, es decir que el vector resultante de [matemáticas] \ varphi (e_i, e_j) [/ matemáticas] tiene [matemáticas] T_ {ij} ^ {\, \, k} [/ math] como componente [math] k [/ math] -th, o dicho de otro modo, [math] \ langle \ varphi (e_i, e_j), e_k \ rangle = T_ {ij } ^ {\, \, k} [/ math].

Entonces, ahora construimos nuestra matriz 3D para representar el producto cruzado, descubramos cuáles son sus coeficientes [matemática] T_ {ij} ^ {\, \, k} [/ matemática]. Recuerde que estamos en [math] \ mathbb {K} ^ 3 [/ math], y llamamos a su base [math] (e_1, e_2, e_3) [/ math].

[matemáticas] e_1 \ cuña e_2 = e_3 \ iff \ varphi (e_1, e_2) = e_3 \ implica T_ {12} ^ {\, \, 3} = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] e_1 \ cuña e_3 = -e_2 \ implica T_ {13} ^ {\, \, 2} = -1 [/ matemáticas]

[matemáticas] e_2 \ cuña e_1 = -e_3 \ implica T_ {21} ^ {\, \, 3} = -1 [/ matemáticas]

[matemáticas] e_2 \ cuña e_3 = e_1 \ implica T_ {23} ^ {\, \, 1} = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] e_3 \ cuña e_1 = e_2 \ implica T_ {31} ^ {\, \, 2} = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] e_3 \ cuña e_2 = -e_1 \ implica T_ {32} ^ {\, \, 1} = -1 [/ matemáticas]

Y todos los coeficientes no listados son [matemática] 0 [/ matemática].

Entonces podemos representar [math] \ varphi [/ math] por 3 matrices, cada una de las cuales corresponde a la matriz de las transformaciones lineales [math] \ varphi (e_1, x) [/ math], [math] \ varphi (e_2 , x) [/ math] y [math] \ varphi (e_3, x) [/ math].

[matemática] M_1 = \ begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \ end {pmatrix} [/ math]

[matemática] M_2 = \ begin {pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ – 1 & 0 & 0 \ end {pmatrix} [/ math]

[matemática] M_3 = \ begin {pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix} [/ math]

Si esas matrices fueran diagonalizables simultáneamente, se conmutarían, eso es [matemática] M_1M_2 = M_2M_1 [/ matemática] etc., y ese no es el caso, así que no, la transformación bi lineal del producto cruzado no es diagonalizable.

Answer 2

Cross Product no es una transformación lineal, es bilineal, por lo que su pregunta no tiene ningún sentido. Si fija un vector A y, sin embargo, puede considerar el mapeo lineal que mapea cualquier vector con el producto cruzado con A. Sin embargo, este mapeo no es diagonalizable, porque su único vector propio es 0 (con A como valor propio). Y así, si fuera diagonalizable, A sería nulo.

Answer 3

Como otros han dicho, el producto cruzado no es un mapa lineal, es bilineal. Puede considerarlo como un mapa lineal de [math] \ mathbb {R} ^ 3 \ wedge \ mathbb {R} ^ 3 \ rightarrow \ mathbb {R} ^ 3 [/ math] pero realmente no puede hablar de esto El mapa es diagonalizable. Si arregla un vector distinto de cero [math] w \ in \ mathbb {R} ^ 3 [/ math], entonces el mapa [math] z \ mapsto z \ times w [/ math] es un mapa lineal. Sin embargo, el único valor propio de este mapa es [math] 0 [/ math] con el eigenspace [math] E_0 = \ mathbb {R} w. [/ math] Esto viene del hecho de que [math] w \ times w = 0 [/ math] y del hecho de que [math] z \ times w [/ math] es ortogonal a ambos [math] z [/ math] y [math] w [/ math] cuando z y w son independientes.