Cómo demostrar que det de matriz 2 × 2 es [matemática] detA = \ lambda _1 \ lambda _2 [/ matemática]

Answer 1

Esto funciona no solo para las matrices [math] 2 \ times 2 [/ math], sino para cualquier matriz [math] n \ times n [/ math]. Específicamente, si [math] \ lambda_1, \ lambda_2, \ ldots, \ lambda_n [/ math] son ​​los valores propios de [math] A [/ math], entonces [math] \ det A = \ lambda_1 \ lambda_2 \ ldots \ lambda_n [/matemáticas]. Aquí está la prueba.

Los valores propios de [math] A [/ math] son ​​las raíces de [math] \ det (xI – A) [/ math]. Así

[matemáticas] \ det (xI-A) = (x- \ lambda_1) (x- \ lambda_2) \ cdots (x- \ lambda_n) \ quad [*] [/ matemáticas]

El hecho de que [math] \ det (xI-A) [/ math] es un polinomio monico, es decir, tiene un coeficiente principal de 1, se debe al hecho de que la variable [math] x [/ math] solo está en la diagonal principal de [matemáticas] xI – A [/ matemáticas]. Al encontrar el determinante utilizando la expansión determinante de Leibniz (en oposición a, por ejemplo, la de Laplace), queda claro que el coeficiente de [matemáticas] x ^ n [/ matemáticas] de [matemáticas] \ det (xI-A) [/ matemáticas ] es 1.

(El párrafo anterior es un punto importante a considerar, y no debe ser ignorado. Sin él, el determinante de [matemáticas] A [/ matemáticas] sería el producto de los valores propios y el coeficiente principal de su polinomio característico, por lo que es importante demostrar que este coeficiente es 1.)

Sustituyendo [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas] en [matemáticas] [*] [/ matemáticas], obtenemos

[matemáticas] \ det (-A) = (- \ lambda_1) (- \ lambda_2) \ cdots (- \ lambda_n) [/ matemáticas]

[matemáticas] (- 1) ^ n \ det (A) = (-1) ^ n (\ lambda_1 \ lambda_2 \ ldots \ lambda_n) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ det (A) = \ lambda_1 \ lambda_2 \ ldots \ lambda_n [/ matemáticas]

según sea necesario.

Answer 2

Un vector que satisface Mv = xv para algún número x se llama un vector propio de la matriz M y x se llama el valor propio de M correspondiente a v. (V se llama un vector propio correspondiente a x).

La condición M v = x v puede reescribirse como (M – xI) v = 0 . Esta ecuación dice que la matriz (M – xI) toma v en el vector 0 , lo que implica que (M – xI) no puede tener un inverso, por lo que su determinante debe ser 0.

La ecuación det (M – xI) = 0 es una ecuación polinómica en la variable x para M. dada Se llama ecuación característica de la matriz M. Puedes resolverla para encontrar los valores propios x, de M.

La traza de una matriz cuadrada M, escrita como Tr (M), es la suma de sus elementos diagonales.

La ecuación característica de una matriz 2 por 2 M toma la forma

x ^ 2 – xTr (M) + det M = 0

y las raíces de esta ecuación serán valores propios, digamos λ1 λ2. entonces el producto de las raíces será λ1λ2 = det M

Answer 3

Deje que [math] \ lambda [/ math] sea un valor propio genérico de [math] A = \ begin {pmatrix} a && b \\ c && d \ end {pmatrix} [/ math]. Tenemos:

[matemáticas] \ text {det} (A) = anuncio – bc [/ matemáticas]

También,

[matemáticas] \ text {det} (A – \ lambda I) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (a – \ lambda) (d – \ lambda) – bc = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ lambda ^ 2 – (a + d) \ lambda + ad – bc = 0 [/ matemáticas]

Si las raíces son [math] \ lambda_1 [/ math] y [math] \ lambda_2 [/ math], entonces el producto [math] \ lambda_1 \ lambda_2 = ad – bc = \ text {det} (A) [/ math ]

Answer 4

Es claramente cierto para una matriz diagonalizable. El resultado se extiende a todas las matrices cuadradas por continuidad.