Cómo mostrar que la matriz de proyección que se proyecta en el subespacio que abarca [math] a [/ math] es [math] aa ^ T [/ math]

Answer 1

Primero, como otros han notado (pero no han gritado desde el techo), el resultado es verdadero cuando [math] a [/ math] es un vector unitario. No es cierto si [math] a [/ math] no es un vector unitario. Entonces, supongamos que estamos en tierra de unidad-vector.

Hay una prueba simplista de esto, dependiendo de si tiene una determinada definición a su disposición. Resulta que una definición para un operador [matemática] p [/ matemática] para ser una proyección es si satisface [matemática] p ^ 2 = p [/ matemática]. (Si piensa en esto intuitivamente, tiene sentido: si [math] p [/ math] se proyecta en algún subespacio, arregla los vectores en ese subespacio. Entonces, hacer [math] p [/ math] dos veces es lo mismo que hacer [matemáticas] p [/ matemáticas] una vez.)

Con esa definición, es fácil. Observe: ([matemática] aa ^ T) ^ 2 = aa ^ Taa ^ T = aa ^ T [/ matemática], donde sigue la última igualdad porque [matemática] a [/ matemática] es un vector unitario. (Más explícitamente, [math] a ^ Ta [/ math] en el medio desaparece, ya que es simplemente el producto de punto de [math] a [/ math] consigo mismo).

Bien, ahora sabemos que [matemáticas] aa ^ T [/ matemáticas] es una proyección * a *, pero ¿cómo sabemos que es una proyección en el subespacio correcto? Fácil. Corrige [matemáticas] a [/ matemáticas], por el mismo cálculo anterior. Además, no soluciona nada que no esté en el rango de [math] a [/ math], también por el mismo cálculo.

Answer 2

Deje que una norma sea la unidad. Entonces [matemáticas] Aa = aa ^ Ta = a1 = a. [/ Matemáticas]

Dado que una proyección en un subespacio 1) se encuentra en dicho subespacio, y 2) está lo más cerca posible del vector inicial que hemos terminado. ¿Por qué? ¡Porque la diferencia aquí es cero, no se puede superar eso! Prueba: [matemáticas] || a-Aa || = || aa || = || 0 || = O. [/ Matemáticas]

Tenga en cuenta que esto solo funciona para un ser un vector, el resultado falla si a es una matriz a menos que sea unitaria

juego sobre aplausos