Si quieres ser técnico, donde puedes definir ambos hay un isomorfismo entre ellos, pero por supuesto eso significa que son realmente lo mismo.
La suma directa (externa) se puede usar para dos espacios vectoriales: es una forma de generar nuevos espacios vectoriales (más grandes) a partir de los antiguos. Estoy seguro de que un teórico de la categoría me llevaría a la tarea por esto, pero en lo que a mí respecta, la única diferencia entre el producto cartesiano de los espacios vectoriales y la suma directa es que este último incluye la estructura natural del espacio vectorial por defecto.
En cuanto a la suma directa interna, dados dos subespacios [matemática] X [/ matemática] y [matemática] Y [/ matemática] del espacio [matemática] V [/ matemática], entonces la suma [matemática] X + Y [/ matemática ] es ese subespacio de [math] V [/ math], definido por
[matemáticas] X + Y = \ left \ {{\ bf x} + {\ bf y}: {\ bf x} \ en X, \ {\ bf y} \ en Y \ right \} [/ matemáticas]
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Si los subespacios tienen una intersección trivial, [matemática] X \ cap Y = \ conjunto vacío [/ matemática], entonces su suma directa (formada al ignorar el espacio ambiental) es isomorfa a su suma de una manera obvia. Es por eso que llamamos a tal situación la suma directa interna.