¿Por qué el vector cero no es un vector propio?

Answer 1

La respuesta corta es que lo definimos de esta manera . La definición estándar de vector propio incluye la restricción de no ser cero. La pregunta más interesante, que entiendo es lo que realmente quisiste hacer, es por qué esta definición es la aceptada.

Veamos qué sucede si permitimos que el vector cero sea un vector propio. Trabajaré en términos de números complejos, pero lo siguiente funciona sobre cualquier campo. Dado que presentaré algunas definiciones no estándar, también demarcaré claramente esto como matemática del “mundo extraño”.

Mala definición 1: deje que [math] \ lambda \ in \ mathbb {C} [/ math] sea un escalar y [math] T: V \ to V [/ math] un operador lineal en un [math] \ mathbb {C } [/ math] -vector space [math] V [/ math]. Decimos que [math] v \ en V [/ math] es un vector propio de eigenvalue [math] \ lambda [/ math] if [math] T (v) = \ lambda v [/ math].

Mala definición 2: decimos que [math] \ lambda \ in \ mathbb {C} [/ math] es un valor propio de [math] T [/ math] si [math] T [/ math] tiene al menos un vector propio de eigenvalue [matemáticas] \ lambda [/ matemáticas].

Una consecuencia inmediata es que cada operador lineal tiene cada número complejo como un valor propio (porque [math] 0 \ en V [/ math] es un “vector propio de eigenvalue [math] \ lambda [/ math]” para todos [math] \ lambda \ in \ mathbb {C} [/ math]) Por lo tanto, el “conjunto de valores propios de [math] T [/ math]” es un concepto totalmente poco interesante en este mundo.

En el mundo real, en el que [math] 0 [/ math] nunca es un vector propio, el conjunto de valores propios de un operador lineal es un objeto matemático muy interesante. Se llama espectro del operador, y muchas de las bellas matemáticas provienen de su estudio.

NB Sea [matemático] T: V \ a V [/ matemático] un operador lineal. Aunque [math] 0 \ en V [/ math] no es un vector propio de [math] T [/ math] para cualquier escalar [math] \ lambda \ in \ mathbb {C} [/ math], es un elemento de cada espacio propio [matemática] V (\ lambda) \ subseteq V [/ matemática]. Eso es incluso cierto si [math] \ lambda [/ math] no es un valor propio de [math] T [/ math]; es simplemente el caso de que [math] V (\ lambda) = 0 [/ math] para casi cada [math] \ lambda \ in \ mathbb {C} [/ math]. Preferimos hablar de espacios vectoriales iguales a cero en lugar de espacios vectoriales que no existen. Por ejemplo, podemos hablar sobre la dimensión de cualquier espacio propio de esta manera. Si tuviéramos que preocuparnos de si existía un espacio propio o no, tendríamos que calificar muchas oraciones sobre las dimensiones de los espacios propios de formas torpes y feas.

Answer 2

Porque el vector cero como vector propio es en gran medida poco interesante. No quiere decir que el valor propio sea cero no es interesante.

El vector propio cero no es interesante porque cualquier valor propio funciona para él. No hay una declaración útil que se pueda hacer al respecto, ya que es útil conducir a algunas declaraciones más.