Realmente no hay una definición general de espacio en matemáticas. Casi cualquier objeto que podamos imaginar visualmente puede llamarse espacio. Espacios métricos, múltiples, espacios de Hilbert, orbifolds, esquemas, espacios de medida, espacios de probabilidad y pilas de módulos son todo lo que llamamos espacios.
Lo más parecido a una definición general de espacio es la probabilidad de la noción de un espacio topológico. Por ejemplo, espacios métricos, múltiples, espacios de Hilbert, orbifolds y esquemas son todos espacios topológicos con un poco más de estructura.
Un espacio topológico consiste en un conjunto de puntos, [matemática] X [/ matemática], y una colección de subconjuntos de [matemática] X [/ matemática] que llamamos “abierto”, sujeto a las condiciones que
- El conjunto vacío y [math] X [/ math] están abiertos,
- Cualquier unión de conjuntos abiertos es abierta,
- Y la intersección de un par de conjuntos abiertos están abiertos.
Se supone que los conjuntos abiertos son como los subconjuntos abiertos de [math] \ mathbb {R} [/ math]. A riesgo de ser vago, pensamos en los conjuntos abiertos como aquellos subconjuntos [matemática] U [/ matemática] de [matemática] X [/ matemática] para que cada punto de [matemática] U [/ matemática] pueda moverse un poco sin salir de [matemáticas] U [/ matemáticas]. Este es literalmente el caso de [math] \ mathbb {R} [/ math], ya que los conjuntos abiertos se definen como los subconjuntos [math] U [/ math] para que para todos [math] x \ in U [ / math] hay un [math] \ epsilon> 0 [/ math] para que [math] (x – \ epsilon, x + \ epsilon) \ subconjunto U [/ math] (es decir, mueva [math] x [/ math ] por menos de [math] \ epsilon [/ math] no dará como resultado un punto fuera de [math] U [/ math]).
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Resulta que esta cantidad mínima de información (un conjunto de puntos y una colección de subconjuntos abiertos) es suficiente para determinar si las funciones son continuas. Esto hace que los espacios topológicos sean realmente útiles.
Por otro lado, no todos los espacios en matemáticas son un espacio topológico, o incluso, como otros han respondido, un conjunto de puntos con alguna estructura adicional. Esto fue algo que me sorprendió aprender hace unos semestres.
El contraejemplo que tengo en mente es la idea de una pila de módulos, que (¡esto se vuelve extraño!) Es un tipo particular de functor [math] F: \ mathcal {C} \ to \ mathcal {D} [/ math], donde la preimagen de cada objeto [matemática] D [/ matemática] de [matemática] \ matemática {D} [/ matemática] se considera como la colección de funciones continuas desde [matemática] D [/ matemática] al espacio que [matemática Se supone que] F [/ math] representa.
¿Cómo demonios es este un espacio? Para obtener cierta intuición, considere el conjunto de funciones continuas de un espacio que consiste en un solo punto en un espacio topológico, [matemáticas] X [/ matemáticas]. Para cada punto [math] p \ en X [/ math], obtenemos una función que lleva el punto único a [math] p [/ math]. En este sentido, el conjunto de funciones continuas de un punto a [matemáticas] X [/ matemáticas] describe los puntos de [matemáticas] X [/ matemáticas]. Si consideramos las funciones de algo más elegante, digamos un segmento de línea, en [matemática] X [/ matemática] comenzamos a tener una idea de cómo los puntos de [matemática] X [/ matemática] están relacionados entre sí, cuáles pueden estar conectados entre sí por un camino, cuáles están cerca y cuáles están lejos unos de otros, y así sucesivamente. Al considerar todos los posibles conjuntos de funciones en [matemáticas] X [/ matemáticas], podemos deducir exactamente qué es [matemáticas] X [/ matemáticas]. Esta es una idea que se conoce con el nombre de Yoneda Lemma. La idea de una pila de módulos es usar esto como una metáfora: cualquier functor que “parezca” que describe funciones en un espacio topológico puede usarse para definir un “espacio”.
Lo que quiero enfatizar es esto: hay muchos tipos de espacios en matemáticas, pero si quieres tener una idea fundamental de qué es un espacio, debes estudiar los espacios topológicos. Dicho eso, ¡las cosas se ponen raras!