La respuesta corta es que sí, existe tal base, pero no creo que exista una forma explícita de describirla.
Para dar un poco más de detalle, debe tener cuidado sobre si se refiere a una base de Hamel o una base de Schauder.
Siempre que acepte el Axioma de elección, cualquier espacio vectorial tiene una base de Hamel, es decir, un conjunto de vectores linealmente independientes, de modo que cualquier otro vector puede expresarse como una combinación lineal finita de dichos vectores base.
Para espacios vectoriales de dimensiones finitas como [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math], no es difícil encontrar explícitamente una base de Hamel. Para espacios vectoriales de dimensiones infinitas , esto es generalmente imposible. Por ejemplo, sé que los reales son un espacio vectorial sobre los racionales, por lo tanto, el Axioma de Elección me dice que hay un conjunto linealmente independiente de números reales [matemática] S [/ matemática] de modo que cualquier número real puede escribirse como alguna combinación lineal finita [matemática] q_1 s_1 + q_2 s_2 + \ ldots + q_n s_n [/ matemática]. Desafortunadamente, es imposible escribir explícitamente tal conjunto.
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Entonces, dado que las funciones continuas de valor real en la línea real forman un espacio vectorial real, sabemos que tienen una base de Hamel, pero no podemos describir cuál es esa base, solo podemos decir realmente que va a ser horriblemente incontable.
Sin embargo, es posible que no esté realmente interesado en el espacio de funciones continuas como solo un espacio vectorial. Lo más probable es que esté más interesado en pensarlo como un espacio vectorial topológico . Es decir, nos gustaría una noción adicional de convergencia, de modo que tenga sentido hablar de combinaciones lineales infinitas. En ese contexto, podemos hablar sobre una base de Schauder. Por lo general, las bases de Schauder son mucho más fáciles de describir explícitamente.
¿Cómo podemos hacer del espacio completo de funciones continuas un espacio vectorial topológico? Hay muchos enfoques que podríamos adoptar, pero aquí hay uno:
Para cada entero positivo [matemática] N [/ matemática], defina una semi-norma [matemática] \ | f \ | _ {\ infty, N} = \ sup_ {| x | \ leq N} | f (x) | [/matemáticas]. Esta es una semi-norma debido al hecho de que [math] \ | f \ | _ {\ infty, N} = 0 [/ math] no prueba [math] f = 0 [/ math] de forma idéntica.
Sin embargo, ahora tenemos una familia contable de semi-normas [matemáticas] \ left \ {\ | \ cdot \ | _ {\ infty, N} \ right \} _ {N = 1} ^ \ infty [/ math] con una propiedad muy agradable: [matemática] f = 0 [/ matemática] si y solo si [matemática] \ | f \ | _ {\ infty, N} = 0 [/ matemática] por cada [matemática] N [/ matemática] .
Ahora podemos convertir el espacio de funciones continuas en un espacio vectorial topológico mediante el uso de estas semi-normas: [math] f_n \ rightarrow 0 [/ math] si y solo si [math] \ | f_n \ | _ {\ infty , N} \ rightarrow 0 [/ math] para todos [math] N [/ math], que básicamente determina la topología.
Como comentario: algo aún mejor es cierto. Si [math] f_n [/ math] es una secuencia de Cauchy en este espacio vectorial, entonces existe una función continua [math] f [/ math] tal que [math] f_n \ rightarrow f [/ math]. En otras palabras, este espacio vectorial topológico está completo. De hecho, es un espacio Fréchet.
Armados con este conocimiento, podríamos preguntarnos qué es una base Schauder de este espacio, es decir, algún conjunto de funciones continuas [matemáticas] G [/ matemáticas] de tal manera que para cualquier función continua [matemáticas] f [/ matemáticas], usted pueda encuentre un conjunto contable [matemático] g_1, g_2, \ ldots \ subconjunto G [/ matemático] y coeficientes reales [matemático] r_1, r_2, \ ldots [/ matemático] tal que [matemático] r_1 g_1 + r_2 g_2 + \ ldots r_n g_n \ rightarrow f [/ math].
Sorprendentemente, se nos ocurre exactamente la misma respuesta que antes: sí, existe tal base, pero, no, (probablemente) no podemos construirla explícitamente.
La cuestión es que uno podría esperar poder encontrar una base contable de Schauder, pero eso no es así: para cualquier conjunto contable de funciones continuas, siempre se puede encontrar otra función continua cuyo orden de crecimiento sea mucho mayor que cualquier otro. de las funciones dadas. Como resultado, el conjunto de todas las funciones continuas es demasiado grande para tener una base contable de Schauder.