Tenga en cuenta que si [math] M = \ begin {pmatrix} O_ {m, n} & I_m \\ I_n & O_ {n, m} \ end {pmatrix} [/ math], entonces [math] M ^ T = \ begin {pmatrix} O_ {n, m} & I_n \\ I_m & O_ {m, n} \ end {pmatrix} [/ math]. también
[matemáticas] MM ^ T = \ begin {pmatrix} O_ {m, n} & I_m \\ I_n & O_ {n, m} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} O_ {n, m} & I_n \\ I_m & O_ {m, n} \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} I_m & O_ {m, n} \\ O_ {n, m} & I_n \ end {pmatrix} = I. [/ Math]
Por lo tanto
[matemáticas] \ det (MM ^ T) = \ det (I) [/ matemáticas]
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[matemáticas] (\ det (M)) ^ 2 = 1 [/ matemáticas]
[matemática] \ det (M) = \ pm 1. [/ matemática]
De hecho, puedo exhibir dos instancias diferentes de [matemáticas] M [/ matemáticas], una con determinante [matemática] 1 [/ matemática] y otra con determinante [matemática] -1 [/ matemática]. La matriz [math] \ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix} [/ math] tiene determinante [math] -1 [/ math], mientras que [math] \ begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \ end {pmatrix} [/ math] tiene determinante [math] 1 [/ math].