Cómo determinar la matriz de reflexión sobre una línea a través del origen con el vector de dirección [math] \ vec {v} = \ left (a, b \ right) ^ {T} [/ math]

Answer 1

Necesitas un poco de ayuda de la geometría para hacer esto. Ver diagrama a continuación:

El vector [math] \ vec {v} [/ math] se refleja sobre la línea que forma un ángulo [math] \ displaystyle \ frac {\ alpha} {2} [/ math] con [math] X [/ math] eje para obtener el vector [math] \ vec {v} ‘[/ math]. Tenemos las siguientes ecuaciones:

[matemáticas] a = | \ vec {v} | \ cos \ theta [/ matemáticas]

[matemáticas] b = | \ vec {v} | \ sin \ theta [/ matemáticas]

[matemáticas] a ‘= | \ vec {v} | \ cos (\ alpha – \ theta) [/ matemáticas]

[matemáticas] b ‘= | \ vec {v} | \ sin (\ alpha – \ theta) [/ matemáticas]

Expande las ecuaciones tercera y cuarta usando las identidades trigonométricas para la diferencia de los dos ángulos. Usted obtiene:

[matemáticas] a ‘= a \ cos \ alpha + b \ sin \ alpha [/ matemáticas]

[matemáticas] b ‘= a \ sin \ alpha – b \ cos \ alpha [/ math]

En forma matricial, esto equivale a:

[matemáticas] \ begin {pmatrix} a ‘\\ b’ \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} \ cos \ alpha && \ sin \ alpha \\ \ sin \ alpha && – \ cos \ alpha \ end {pmatrix } \ begin {pmatrix} a \\ b \ end {pmatrix} [/ math]

Answer 2

Suponiendo que el vector de dirección es un vector unitario, el vector unitario a lo largo de la dirección de la línea de reflexión es [math] \ displaystyle a \ hat {i} + b \ hat {j} [/ math] donde [math] \ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = 1 [/ matemáticas]. Entonces, el vector de dirección [math] \ displaystyle (a, b) ^ {T} [/ math] es el mismo que [math] \ displaystyle (\ cos (\ frac {\ alpha} {2}) [/ math], [matemáticas] \ sin (\ frac {\ alpha} {2})) ^ {T} [/ matemáticas]. Poner [math] \ displaystyle \ cos (\ frac {\ alpha} {2}) = a [/ math], y [math] \ displaystyle \ sin (\ frac {\ alpha} {2}) = b [/ math ], y usando [math] \ displaystyle \ cos \ alpha = cos ^ {2} (\ alpha / 2) -sin ^ {2} (\ alpha / 2) [/ math] y [math] \ displaystyle \ sin \ alpha = 2 \ sin \ alpha \ cos \ alpha [/ math] se pueden obtener los elementos de la matriz de rotación A.

Answer 3

Tenga en cuenta que en un vector de dirección, solo la relación de los dos componentes es importante. Entonces, si multiplica ambos componentes por el mismo número, obtendrá el mismo vector de dirección. Por ejemplo, [matemáticas] (1,2) [/ matemáticas] y [matemáticas] (5,10) [/ matemáticas] ambos apuntan en la misma dirección.

Por lo tanto, debe expresar [matemáticas] (a, b) ^ T [/ matemáticas] en la forma [matemáticas] (\ cos \ frac {\ alpha} {2}, \ sin \ frac {\ alpha} {2} ) ^ T [/ math] multiplicando por alguna constante [math] k [/ math]. Esto te da

[matemáticas] ka = \ cos \ frac {\ alpha} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] kb = \ sin \ frac {\ alpha} {2} [/ matemáticas]

Cuadra y suma las dos ecuaciones anteriores para obtener

[matemáticas] k = \ dfrac {1} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} [/ matemáticas]

Conecte esto a las ecuaciones anteriores para obtener

[matemáticas] \ cos \ frac {\ alpha} {2} = \ dfrac {a} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sin \ frac {\ alpha} {2} = \ dfrac {b} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} [/ matemáticas]

Ahora puedes usar la fórmula.

PD: También recomendaría derivar el resultado que encontraste en el libro. Ahí es donde sucede el verdadero aprendizaje. La aplicación de fórmulas estándar para resolver problemas no es particularmente útil si no comprende de dónde provienen las fórmulas.

Answer 4

La respuesta rápida sería la siguiente: supongamos que su línea es el eje x. Entonces la matriz de reflexión estaría dada por L = [matemáticas] \ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {bmatrix}. [/ math] Ahora suponga que se le da un vector de dirección arbitrario [math] u = (cos (\ theta), sin (\ theta)) [/ math] de unidad de longitud, y se denota por [math] R _ {\ theta } [/ math] el operador que gira el plano por [math] \ theta. [/ math] Puede reflexionar a lo largo de [math] u [/ math] girando primero con – [math] \ theta, [/ math] realizando la reflexión y luego girando hacia atrás. En otras palabras, la reflexión viene dada por [matemáticas] R _ {\ theta} LR _ {- \ theta}. [/ math] Te lo dejaré a ti para ver cómo se ve esta matriz.