No estoy seguro de que este sea el método adecuado, pero haría lo siguiente.
[matemáticas] x ^ 2 + 2x + 3xy-y ^ 2-4y = 5 [/ matemáticas]
Arreglemos [math] y [/ math] y veamos esto como una ecuación cuadrática con un parámetro.
[matemáticas] x ^ 2 + (2 + 3y) xy ^ 2-4y-5 = 0 [/ matemáticas]
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Sabemos cómo resolver una cuadrática en una variable.
- [matemáticas] D = (2 + 3y) ^ 2 + 4y ^ 2 + 4y + 5 = 13y ^ 2 + 16y + 9. [/ matemáticas]
- [matemáticas] x = \ frac {-2-3y \ pm \ sqrt {13y ^ 2 + 16y + 9}} {2}. [/ math]
Si estuviéramos trabajando [math] \ mathbb {C} [/ math] estaríamos listos, pero para los reales debemos verificar que [math] D [/ math] es positivo. Afortunadamente, el [matemático] y [/ matemático] discriminante de [matemático] D [/ matemático] es [matemático] 4 (64-117) <0 [/ matemático], entonces [matemático] D [/ matemático] es siempre positivo. Esto significa que la solución de la ecuación original se puede escribir como [matemáticas] \ {[/ matemáticas] [matemáticas] (- 2-3y \ pm \ sqrt {13y ^ 2 + 16y + 9}) / 2, y) | y \ in \ mathbb {R} \} [/ math].