Un vector propio es, por definición, un objeto V que satisface la ecuación.
LV = AV
Aquí L es un operador que modifica un vector para producir un nuevo vector, por lo tanto, dado cualquier vector W, produce un nuevo vector T para que T = LW. Sin embargo, para el vector V, el vector resultante está en la misma dirección o en dirección opuesta al vector original V, de modo que el vector resultante es AV, donde A es un valor escalar llamado valor propio.
Dados dos o más de tales vectores propios, digamos V y W con valores propios A y B, ¿qué puede decir sobre el resultado vectorial resultante del operador?
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Es decir, LV = AV y LW = BW
Una combinación lineal de los dos vectores V y W es cualquier vector T = PV + QW donde P y Q son escalares arbitrarios, no necesariamente valores propios. Ahora, el operador L también es un operador lineal, por lo que para cualquiera de los dos vectores (no necesariamente vectores propios) tiene que
L (PV + QW) = PLV + QLW
Ahora, para los dos vectores propios también tenemos que LV = AV y LW = BW así que esto es
L (PV + QW) = PAV + QBW
Aquí P, QA y B son todos escalares, por lo que esta es simplemente una combinación lineal de los mismos dos vectores V y W que el vector original. En general, no es un vector propio ya que A y B y P y Q son en general valores diferentes.
Sin embargo, si los dos vectores tienen el mismo valor propio de modo que B = A, entonces tenemos que L (PV + QW) = PLV + QLW = PAV + QAW = A (PV + QW), entonces vemos que cualquier combinación lineal de los dos vectores también son un vector propio del mismo operador con el mismo valor propio A.