No todas las trazas de todas las matrices tienen un significado geométrico, pero algunas sí. Para hacer la pregunta bien definida, podemos preguntarnos: ¿cuál es la interpretación tridimensional de la traza de una matriz de 3 x 3? Consideremos una matriz de 3 x 3 con las siguientes propiedades,
[matemáticas] \ textbf {A} = \ textbf {A} ^ {\ top} [/ matemáticas] simétrico real
[matemáticas] \ textbf {A} = \ textbf {U} \ mathbf {\ Lambda} \ textbf {U} ^ {\ top} [/ math] diagonalizable
[matemáticas] \ textbf {U} ^ {- 1} = \ textbf {U} ^ {\ top} [/ matemáticas] unitario
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[matemática] \ textbf {A} \ textbf {U} = \ textbf {U} \ textbf {A} [/ math] invariancia ortogonal
Aquí, U es una matriz ortogonal cuyas columnas son los vectores propios de A y [math] \ mathbf {\ Lambda} [/ math] es una matriz diagonal cuyos elementos son los valores propios de A. Como A es diagonalizable, su trazo es la suma de sus valores propios,
[matemáticas] tr (\ textbf {A}) = tr (\ textbf {U} \ mathbf {\ Lambda} \ textbf {U} ^ {\ top}) = tr (\ textbf {U} \ textbf {U} ^ {-1} \ mathbf {\ Lambda}) = tr (\ mathbf {\ Lambda}) = \ sum_ {i} \ lambda_ {ii} [/ math]
Las coordenadas están definidas por los valores propios de A donde los observables están definidos por los invariantes de A , dados los coeficientes de su polinomio característico. El polinomio característico es:
[matemáticas] P (\ lambda) = det (\ textbf {A} – \ delta_ {ij} \ lambda_ {ii}) [/ matemáticas]
Configurando [math] P (\ lambda) = 0 [/ math] tenemos,
[matemáticas] \ textbf {A} ^ {3} – a \ textbf {A} ^ {2} + b \ textbf {A} – c \ textbf {A} = 0 [/ math]
dónde,
[matemáticas] a = tr (\ textbf {A}) = \ lambda_ {1} + \ lambda_ {2} + \ lambda_ {3} [/ matemáticas]
[matemáticas] b = \ dfrac {1} {2} (tr (\ textbf {A}) ^ {2} – tr (\ textbf {A} ^ {2})) = \ lambda_ {1} \ lambda_ {2 } + \ lambda_ {2} \ lambda_ {3} + \ lambda_ {1} \ lambda_ {3} [/ matemáticas]
[matemáticas] c = det (\ textbf {A}) = \ lambda_ {1} \ lambda_ {2} \ lambda_ {3} [/ matemáticas]
La matriz diagonal [math] \ mathbf {\ Lambda} [/ math] es equivalente a una dilatación o escala no homogénea de [math] \ lambda_ {1} [/ math], [math] \ lambda_ {2} [/ math] , y [math] \ lambda_ {3} [/ math] en las direcciones x, y y z, respectivamente. Cuando los valores propios están todos degenerados, por ejemplo, cuando [math] \ lambda_ {1} = \ lambda_ {2} = \ lambda_ {3} [/ math], tenemos una dilatación homogénea. Establezcamos [math] r = \ lambda_ {1} [/ math]. Los invariantes se convierten en:
[matemática] a = 3r [/ matemática] el elemento de longitud
[matemáticas] b = 3r ^ {2} [/ matemáticas] el elemento de área
[matemáticas] c = r ^ 3 [/ matemáticas] el elemento de volumen
Finalmente, interpretamos el coeficiente de [math] \ textbf {A} ^ {3} [/ math] como el elemento cero-invariante , el escalar unitario o de identidad. Por lo tanto, tenemos una conexión natural con el álgebra geométrica, donde los invariantes de A son n-cuchillas / n-vectores.
Hasta ahora hemos discutido el significado geométrico de la traza, pero ¿qué pasa con su significado físico ? Pasar de la matemática pura a la física requiere que demostremos una correspondencia entre simetrías y leyes de conservación. Recuerde que U es una matriz ortogonal con determinadas [matemáticas] \ pm 1 [/ matemáticas]. Decimos que U pertenece al Grupo Ortogonal, O (3). Cuando el determinante de U es 1, decimos que U pertenece al Grupo Ortogonal Especial, SO (3), que es el grupo de todas las rotaciones sobre el origen de [math] \ mathbb {R} ^ {3} [/ math] . Por lo tanto, el operador A es rotativamente invariante, ¡es un tensor de segundo rango cuya traza es la longitud del observable!
Actualización : Seamos explícitos y encontremos la forma exacta que A debe tomar. Como ansatz podemos tomarlo como el tensor de giro,
[matemáticas] \ textbf {L} \ equiv \ begin {bmatrix} x ^ {2} & xy & xz \\\\ yx & y ^ {2} & yz \\\\ zx & zy & z ^ {2} \ end {bmatrix} [/ math]
Ahora podemos definir una nueva matriz (de hecho, es un objeto matemático completamente nuevo: un 3-Graph).
[matemáticas] \ textbf {Q} \ equiv \ begin {bmatrix} x & \ sqrt {x} \ sqrt {y} & \ sqrt {x} \ sqrt {z} \\\\ \ sqrt {y} \ sqrt { x} & y & \ sqrt {y} \ sqrt {z} \\\\ \ sqrt {z} \ sqrt {x} & \ sqrt {z} \ sqrt {y} & z \ end {bmatrix} [/ math ]
donde [math] \ textbf {L} = \ textbf {Q} \ circ \ textbf {Q} [/ math],
y así [matemáticas] tr \ textbf {L} = tr (\ textbf {Q} \ circ \ textbf {Q}) = tr (\ textbf {Q}) \ cdot tr (\ textbf {Q}) = \ textbf { r} \ cdot \ textbf {r} \ rightarrow \ sqrt {tr \ textbf {L}} = | \ textbf {r} | [/ math].
De este modo, hemos demostrado que el producto schur ( producto basado en elementos) de dos 3-Graphs es un tensor de segundo rango y cuya traza es el producto interno . Vemos que la raíz cuadrada de la traza es ahora el elemento de longitud. Del mismo modo, el elemento de volumen viene dado por la raíz cuadrada del Gram Determinado.
Ahora, para rematar la guinda del pastel, tenga en cuenta lo siguiente:
Definamos [matemáticas] \ sqrt {\ textbf {r}} = (\ sqrt {x}, \ sqrt {y}, \ sqrt {z}) [/ matemáticas]
por lo tanto, [math] \ textbf {Q} = \ pm \ sqrt {\ textbf {r}} \ otimes \ pm \ sqrt {\ textbf {r}} [/ math] implica la existencia de un grado de libertad de rotación interna dado por el rotor R:
[matemática] R \ textbf {r} ^ {s} = e ^ {i \ delta s} \ textbf {r} ^ {s} [/ math] donde s debe ser igual a 1/2.
Para [matemáticas] \ delta = 2 \ pi [/ matemáticas], [matemáticas] e ^ {i 2 \ pi (1/2)} \ textbf {r} ^ {(1/2)} = – \ sqrt {\ textbf {r}}, [/ math]
Para [matemáticas] \ delta = 4 \ pi [/ matemáticas], [matemáticas] e ^ {i 4 \ pi (1/2)} \ textbf {r} ^ {(1/2)} = + \ sqrt {\ textbf {r}} [/ math].
Por lo tanto, [math] R \ sqrt {\ textbf {r}} [/ math] es un Spinor .
En resumen:
[matemáticas] 1. [/ matemáticas] [matemáticas] \ textbf {Q} = R \ sqrt {\ textbf {r}} \ otimes R \ sqrt {\ textbf {r}} [/ matemáticas]
[matemáticas] 2. [/ matemáticas] [matemáticas] \ textbf {L} = \ textbf {Q} \ circ \ textbf {Q} [/ matemáticas]
[matemáticas] 3. [/ matemáticas] [matemáticas] \ sqrt {tr \ textbf {L}} = | \ textbf {r} | [/matemáticas]
Que se sepa que en la fecha del 3 de septiembre de 2016 compartí una pequeña parte de lo que creo que es uno de los descubrimientos más notables de nuestro universo matemático.