Cómo calcular [matemáticas] \ left [\ vec {x} \ right] _b [/ math] a partir de [math] \ left [\ vec {x} \ right] _E [/ math]. Tenga cuidado de que [matemáticas] \ left [\ vec {x} \ right] _E = \ vec {x} [/ math]

Answer 1

Aquí tenemos dos bases: la base estándar [math] \ {\ mathbf {e_1}, \ mathbf {e_2}, \ mathbf {e_3} \} [/ math], y la base alternativa [math] \ left \ {\ begin {pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \ end {pmatrix}, \ begin {pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \ end {pmatrix}, \ begin {pmatrix} 2 \\ 3 \\ 8 \ end {pmatrix} \ right \} [/ math]. También usamos [math] \ mathbf {v} [/ math] para denotar un vector cuya coordenada se expresa en términos de la base estándar, y [math] \ mathbf {w} [/ math] un vector cuya coordenada se expresa en términos de la base alternativa.

Aquí, la primera observación que se debe hacer es que dado cualquier vector [math] \ mathbf {w} = w_1 \ mathbf {b_1} + w_2 \ mathbf {b_2} + w_3 \ mathbf {b_3} [/ math] (es decir, math] \ mathbf {w} = \ begin {pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \ end {pmatrix} _B [/ math]), podemos cambiar su coordenada a la base estándar sin mucho cálculo , esto se debe a que bajo base estándar, tenemos que:

[matemáticas] \ begin {align} \ mathbf {w} = w_1 \ mathbf {b_1} + w_2 \ mathbf {b_2} + w_3 \ mathbf {b_3} & = w_1 \ begin {pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \ end {pmatrix} + w_2 \ begin {pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \ end {pmatrix} + w_3 \ begin {pmatrix} 2 \\ 3 \\ 8 \ end {pmatrix} \\ & = \ begin { pmatrix} 1 y 0 y 2 \\ 2 y -1 y 3 \\ 4 y 1 y 8 \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \ end {pmatrix} \ end {align} [ /matemáticas]

En otras palabras,

[matemáticas] \ lfloor \ mathbf {w} \ rfloor_E = \ begin {pmatrix} 1 y 0 y 2 \\ 2 y -1 y 3 \\ 4 y 1 y 8 \ end {pmatrix} \ lfloor \ mathbf {w} \ rfloor_B [/ math]

Además, dado que los vectores en la base alternativa son linealmente independientes , la matriz de transformación anterior es invertible , de modo que si aplicamos su inverso a ambos lados de la ecuación, obtenemos que:

[matemáticas] \ begin {pmatrix} 1 y 0 y 2 \\ 2 y -1 y 3 \\ 4 y 1 y 8 \ end {pmatrix} ^ {- 1} \ lfloor \ mathbf {w} \ rfloor_E = \ lfloor \ mathbf {w} \ rfloor_B [/ math]

Al calcular el inverso, obtenemos la matriz de transformación de coordenadas que va desde la base [matemática] E [/ matemática] a la base [matemática] B [/ matemática]:

[math] \ boxed {\ begin {pmatrix} 11 & 7 & -5 \\ -2 & -2 & 1 \\ -2 & -2 & 1 \ end {pmatrix} \ lfloor \ mathbf {w} \ rfloor_E = \ lfloor \ mathbf {w} \ rfloor_B} [/ math]

Por ejemplo, para calcular las coordenadas del vector [matemáticas] \ begin {pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ \ end {pmatrix} _E [/ math] debajo de la base [math] B [/ math], todos lo que tenemos que hacer es multiplicarlo con la matriz anterior (de la [matemática] izquierda [/ matemática]), obteniendo que:

[matemática] \ begin {pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ \ end {pmatrix} _B = \ begin {pmatrix} 11 & 7 & -5 \\ -2 & -2 & 1 \\ -2 & – 2 & 1 \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 10 \\ 3 \\ -3 \\ \ end {pmatrix} [/ matemáticas]

Answer 2

Si está resolviendo esto a mano (no en una computadora), use Gauss-Jordan Elimination, que se explica bien aquí. Básicamente, se crea una matriz de 3 × 6 colocando los vectores base del espacio objetivo en la columna 1-3 y los vectores base canónicos de Eucliden en las columnas 4-6.

Answer 3

Este es el mismo tipo de pregunta que hizo para el cambio de base de la elipse. Busque la matriz T tal que [math] Tx_b = x_e [/ math], es decir, la matriz que cambia un vector expresado en B en el mismo vector expresado en E.

Como defino aquí, las columnas de T son los vectores básicos de B expresados ​​en E: [matemática] T = \ begin {bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & -1 & 3 \\ 4 & 1 & 8 \ end {bmatrix} [/ math]

Para convencerse, configure [math] x_b [/ math] en uno de los vectores de la base canónica de B y compruebe que obtiene [math] b_1, b_2 [/ math] y [math] b_3 [/ math].

Lo que está buscando no es exactamente T sino [matemática] T ^ {- 1} [/ matemática], por lo que invierte T – no es la mejor solución porque la inversión siempre es costosa – o resuelve el sistema expresando la [matemática] ] e_i [/ ​​math] como combinación lineal de [math] b_i [/ ​​math] y build [math] T ^ {- 1} [/ math] poniendo en sus columnas el [math] e_i [/ ​​math] obtenido.

Por lo general, se prefiere el segundo enfoque.

Answer 4

Sio te da la respuesta. Ejemplo numérico:

[1,2,4; 0, -1,1; 2,3,8] \ [1,2,3] ‘= [- 1, -1,1]