Geométricamente, ¿cómo entiendes el espacio vectorial polinómico?

Answer 1

Al igual que cualquier otro espacio vectorial, primero define una base, por ejemplo {1, x, x ^ 2, …, x ^ n, …}. El espacio vectorial no reconoce ninguna relación entre x ^ a y x ^ b (como cómo (x) (x) = x ^ 2) excepto el hecho de que son linealmente independientes, por lo que podría imaginar en un punto que tenemos ejes infinitos en un ángulo recto el uno al otro. Cada eje tiene un vector unitario (puede asignar cualquier longitud al vector unitario que desee ya que de todos modos no hay un concepto de longitud en el espacio vectorial). Podemos comenzar a definir polinomios como puntos en ese marco de referencia. ¿Cómo se definen los puntos? Al usar la definición de espacio vectorial (por ejemplo: vector unitario x ^ a en V, entonces kx ^ a al escalar el vector unitario x ^ a está en V).

En términos de estructura, no hay diferencia entre el espacio polinómico y R ^ infinito, el espacio real de dimensiones infinitas. Anverso que ambos espacios vectoriales tienen elementos infinitos (contables) en su base, por lo que en términos de estructura matemática, son lo mismo.

No puedes “ver” físicamente el espacio polinomial ya que tiene ejes infinitos, pero puedes usar álgebra y una base para entenderlo.

Answer 2

Comience con el subespacio de polinomios de enésimo grado, los de la forma [matemática] a_0 + a_1x + \ dots + a_nx ^ n. [/ Matemática] Este es un espacio vectorial dimensional n + 1 con base ortonormal [matemática] \ {1, x , x ^ 2, \ puntos, x ^ n \} [/ matemáticas]. Un resultado hermoso en el álgebra lineal es que todos los espacios vectoriales dimensionales finitos son isomorfos. Por lo tanto, puede comprender geométricamente el espacio de todos los polinomios de grado 2 como el mismo espacio que [math] \ mathbb {R} ^ 3. [/ math] Cualquiera de los dos polinomios linealmente independientes abarcan un “plano” en el espacio.

Puedes dar las coordenadas vectoriales de los polinomios. Por ejemplo, puede escribir [matemáticas] 1 + x ^ 2-x ^ 3-2x ^ 4 [/ matemáticas] como el vector [matemáticas] (1,0,1, -1, -2) [/ matemáticas]. Puedes pensar en dos polinomios que son ortogonales entre sí si su producto escalar es cero. Entonces [math] x ^ 3-x + 1 [/ math] es ortogonal a [math] x ^ 2 + x-1 [/ math] ya que [math] 1-x + x ^ 3 \ cdot -1 + x + x ^ 2 = (1, -1,0,1) \ cdot (-1,1,1,0) = 0. [/ math] Trabajando de esta manera, puede extender toda su intuición y conocimiento sobre [math ] \ mathbb {R} ^ {n + 1} [/ math] al espacio de polinomios de grado n. También puede expresar transformaciones lineales de polinomios como matrices.

Básicamente, el hecho de que sean polinomios realmente no importa. La x no hace mucho, excepto cambiar el aspecto de los vectores y los operadores lineales.

El espacio de todos los polinomios, por otro lado, es algo con lo que quizás no estés tan familiarizado: un espacio vectorial de dimensiones infinitas. Tiene una base ortonormal [matemáticas] \ {1, x, x ^ 2, x ^ 3, \ puntos \} [/ matemáticas] que consta de infinitos vectores. Casi todo lo que ha aprendido sobre espacios dimensionales finitos funciona para este espacio, pero hay algunas pequeñas diferencias, como el hecho de que no todos los subespacios están cerrados (si sabe qué es un conjunto cerrado), y no todos los conjuntos infinitamente linealmente independientes de vectores forma una base. Todavía puedes usar la ortonormalidad y todo eso.

Answer 3

geométricamente, puedes entender el espacio vectorial polinómico hasta la dimensión 3 porque esa es la dimensión máxima (para el cerebro humano) que puedes visualizar
por eso en álgebra lineal adoptamos vectores de columna sobre vectores de fila.
para conocimiento adicional (introducción al álgebra lineal por el profesor gilbert strang MIT).