Creo que necesita agregar algunas condiciones para que esto sea cierto. [math] \ mathbb R ^ n [/ math] es un espacio vectorial topológico, pero, al estar el espacio de Eucliden (métricamente) completo, cualquier subespacio cerrado también está completo, y según el teorema de la categoría de Baire, no puede tener un interior vacío.
EDITAR: Parece más razonable que la pregunta sea que el subespacio tenga un interior vacío en el espacio y no en sí mismo. Reescribirá Pensé que recibiría al menos un comentario antes de un voto negativo. Quizás, al final, Quora sea tanto un punto de venta como la mayoría de los otros sitios.
EDITAR 2: Si quiere decir que el subespacio tiene un interior vacío en el espacio más grande (que es la interpretación más razonable, lo admito), intente esto:
Suponga por contradicción que [math] S \ subset V [/ math] tiene un interior no vacío. Entonces hay una bola abierta [matemáticas] B (x, r) \ subconjunto V [/ matemáticas]. Muestre que, usando las propiedades de TVS, dado que S es un subespacio, si la bola B (x, r) está en S, debe contener todos los puntos en V.
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- Deje [math] W = \ left \ {(x_1, x_2, x_3) \ mid {3x_1 + \ frac {1} {2} x_2 + 7x_3 = 0} \ right \} [/ math]. ¿Cómo encuentro la base y la dimensión de [math] W [/ math]?
EDITAR 3. Como señaló Kuba, no todos los televisores son metrizables. Aún así, el argumento puede extenderse a vecindarios abiertos generales, es decir, ‘campanas’, que existirían si el subespacio tuviera un interior no vacío. Luego, por traducción, cualquier segmento de línea que une el origen a cualquier punto puede extenderse. Aún así, esto puede aplicarse a situaciones en las que la topología no es discreta.