Deje [math] W = \ left \ {(x_1, x_2, x_3) \ mid {3x_1 + \ frac {1} {2} x_2 + 7x_3 = 0} \ right \} [/ math]. ¿Cómo encuentro la base y la dimensión de [math] W [/ math]?

Answer 1

En primer lugar, creo que debería tener [matemáticas] 3x_1 + \ frac {1} {2} x_2 + 7x_3 = 0 [/ matemáticas] para que su pregunta tenga sentido. Considere esta ecuación como un sistema de ecuaciones. Entonces [math] 3 [/ math] es una entrada principal en la única fila distinta de cero, de modo que [math] x_1 [/ math] es una variable básica con el resto libre. Expresando [math] x_1 [/ math] en términos de las variables libres que tenemos:

[matemáticas] x_1 = – \ frac {1} {6} x_2- \ frac {7} {3} x_3 [/ matemáticas] para que la solución del sistema sea

[math] \ mathbf {x} = \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \ end {bmatrix} [/ math] [math] = \ begin {bmatrix} – \ frac {1} {6} x_2- \ frac {7} {3} x_3 \\ x_2 \\ x_3 \ end {bmatrix} = x_2 \ begin {bmatrix} – \ frac {1} {6} \\ 1 \\ 0 \ end {bmatrix} + x_3 \ begin {bmatrix} – \ frac {7} {3} \\ 0 \\ 1 \ end {bmatrix}. [/ math]

Así

[matemática] W = \ mathrm {Span} \ {(- \ frac {1} {6}, 1,0) ^ T, (- \ frac {7} {3}, 0,1) ^ T \}. [/matemáticas]

La respuesta ahora es obvia.

Answer 2

Digamos que [math] x_1, x_2 [/ math] y [math] x_3 [/ math] son ​​elementos de [math] \ mathbb {R} [/ math]. Inmediatamente, observe que cada entrada puede escribirse en términos de las otras dos; es decir, podemos resolver la ecuación después de “tal que” para [matemáticas] x_1, x_2 [/ matemáticas] o [matemáticas] x_3 [/ matemáticas]. Entonces, cada vector de [math] W [/ math] depende de la elección de solo dos elementos de [math] \ mathbb {R} [/ math] y el tercero proviene de la suma de estos. ¿Qué significa esto para la dimensión de [matemáticas] W [/ matemáticas]?

Escribamos [math] x_2 = -6x_1-14x_3 [/ math] para evitar fracciones.

Luego, cada vector [matemáticas] \ begin {pmatrix} x_ {1} \\ x_ {2} \\ x_ {3} \ end {pmatrix} \ en W [/ math] puede escribirse como

[matemáticas] \ begin {pmatrix} x_ {1} \\ – 6x_1-14x_3 \\ x_3 \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} x_ {1} \\ – 6x_1 \\ 0 \ end {pmatrix} + \ begin {pmatrix} 0 \\ – 14x_3 \\ x_3 \ end {pmatrix} = x_1 \ begin {pmatrix} 1 \\ – 6 \\ 0 \ end {pmatrix} + x_3 \ begin {pmatrix} 0 \\ – 14 \ \ 1 \ end {pmatrix}. \\ [/ math]

¿Está [math] (1, -6,0) \ en W [/ math]?

Sí, porque para [matemáticas] 3x_1 + \ frac {1} {2} x_2 + 7x_3 = 0 [/ matemáticas], tenemos

[matemáticas] 3 (1) + \ frac {1} {2} (- 6) +7 (0) = 0 [/ matemáticas].

¿Qué tal [matemáticas] (0, -14,1) [/ matemáticas]?

¿Ves que por cada [math] x_1, x_3 \ in \ mathbb {R} [/ math] el vector generado por [math] x_1 (1, -6,0) + x_3 (0, -14,1) [ / math] estará en [math] W [/ math]?

Podemos probar [matemáticas] x_1 = 3 [/ matemáticas] y [matemáticas] x_3 = -2 [/ matemáticas]. Entonces nosotros tenemos

[matemáticas] 3 (1, -6,0) + (- 2) (0, -14,1) = (3, -18,0) + (0,28, -2) = (3,10, – 2) [/ matemáticas].

¿[Matemática] (3,10, -2) [/ matemática] satisface la condición?

De nuevo, lo hace: [matemáticas] 3 (3) + \ frac {1} {2} (10) +7 (-2) = 9 + 5-14 = 0. [/ Matemáticas]

¿[Math] \ mathrm {Span} [/ math] [math] \ {(1, -6,0), (0, -14,1) \} = W [/ math]? ¿Son estos linealmente independientes? ¿Cuál es la definición de una base?

Answer 3

W es obviamente un avión. Un plano 2d incrustado en un espacio 3d.

Para ver esto, necesitamos derivar la ecuación de un plano. Es más fácil usar vectores.

Se puede describir un plano dando CUALQUIER punto p en ese plano, Y un vector n que es “normal”, es decir, perpendicular al plano.

Ahora considere cualquier punto en ese plano, x. Claramente, xp debe ser perpendicular a n

Entonces podemos escribir eso como (xp) .n = 0

Pero podemos reescribir eso (distribuyendo n sobre el paréntesis) en

xn = pn

Ahora el LHS es solo x1.n1 + x2.n2 + x3.n3 y el RHS es cero si p = (0,0,0)

De lo cual podemos concluir que W es un plano, que pasa por el origen.

Answer 4

A partir de un espacio 3D, ha impuesto una restricción, dejando dos grados de libertad. Puede elegir dos pares de valores linealmente independientes para x1 y x2, de los cuales (1,0) y (0,1) son los más simples, y resolver para

x3 = (-3/7) x1 + (-1/14) x2 para obtener elementos básicos fáciles

b1 = (1,0, -3 / 7)

b2 = (0,1, -1 / 14)

y obviamente cualquier (x1, x2, x3) que satisfaga es igual a x1 b1 + x2 b2.