Cómo demostrar que [matemáticas] B_1 = {\ frac {x (x-1)} {2}, 1-x ^ 2, \ frac {x (x + 1)} {2},} [/ matemáticas] es base de [matemáticas] V [/ matemáticas]

Answer 1

Una base obvia de [matemáticas] V [/ matemáticas] es [matemáticas] B_0 = x ^ 2, x, 1 [/ matemáticas].

La suma de los dos primeros elementos de [math] B_1 [/ math] es [math] \ frac {x (x-1)} {2} + \ frac {x (x + 1)} {2} = \ frac {x (x-1} + x (x + 1)} {2} = \ frac {x ((x-1) + (x + 1))} {2} = \ frac {2x ^ 2} {2} = x ^ 2 [/ math], que es uno de los elementos de [math] B_0 [/ math].

La suma de los tres es 1, otro elemento de [matemáticas] B_0 [/ matemáticas].

La diferencia entre el primer y el último elemento es [matemática] \ frac {x (x + 1)} {2} + \ frac {x (x-1)} {2} = \ frac {x (x + 1) – x (x-1)} {2} = \ frac {x ((x + 1) – (x-1))} {2} = \ frac {x (2)} {2} = x [/ matemáticas ], el tercer y último elemento de [math] B_0 [/ math].

Dado que cada elemento de [math] B_0 [/ math] es una combinación lineal de los elementos de [math] B_1 [/ math], y el número (finito) de elementos de [math] B_0 [/ math] es el mismo que el número (finito) de elementos de [matemática] B_1 [/ matemática], luego [matemática] span B_0 = span B_1 [/ matemática], y por lo tanto [matemática] B_1 [/ matemática] es una base de [matemática] V [ /matemáticas].

Answer 2

Necesitamos demostrar que cada elemento de [math] V [/ math] puede expresarse como una combinación lineal de elementos de [math] B_1 [/ math] de exactamente 1 manera.

Veamos. Tenemos [math] ax ^ 2 + bx + c [/ math], para algunos valores de [math] a, b [/ math] y [math] c [/ math]. Intentaremos escribir esto como [matemáticas] \ lambda_1 \ frac {x (x-1)} {2} + \ lambda_2 (1-x ^ 2) + \ lambda_3 \ frac {x (x + 1)} {2 }[/matemáticas].

Expandir esto nos da: [matemáticas] x ^ 2 \ left (\ frac {\ lambda_1} {2} – \ lambda_2 + \ frac {\ lambda_3} {2} \ right) + x \ left (- \ frac {\ lambda_1 } {2} + \ frac {\ lambda_3} {2} \ right) + \ lambda_2 [/ math].

Ahora hacemos coincidir los coeficientes de las diferentes potencias de [math] x [/ math]. Esto nos da el siguiente sistema de ecuaciones:

• [matemáticas] a = \ frac {\ lambda_1} {2} – \ lambda_2 + \ frac {\ lambda_3} {2} [/ matemáticas]
• [matemáticas] b = – \ frac {\ lambda_1} {2} + \ frac {\ lambda_3} {2} [/ matemáticas]
• [matemáticas] c = \ lambda_2 [/ matemáticas]

Si inspecciona esto de cerca, notará que es un sistema de 3 ecuaciones en tres variables ([matemáticas] \ lambda_1, \ lambda_2, \ lambda_3 [/ matemáticas]) y tiene un rango completo, lo que significa que hay exactamente 1 valor para cada variable Entonces, para cada elemento posible de [math] V [/ math], hay exactamente 1 combinación lineal. Entonces sí, [math] B_1 [/ math] es una base para [math] V [/ math].

Answer 3

Para resolver esto, debe demostrar que cualquier polinomio cuadrático se puede escribir como una combinación lineal de las tres funciones que le da en B_1.

Es decir, dado [matemáticas] ax ^ 2 + bx + c, [/ matemáticas] encontrar [matemáticas] e [/ matemáticas], [matemáticas] f [/ matemáticas] y [matemáticas] g [/ matemáticas], de modo que

[matemáticas] e (x (x-1) / 2) + f (1 – x ^ 2) + g (x (x + 1) / 2) = [/ matemáticas] [matemáticas] ax ^ 2 + bx + c [/matemáticas]

Si simplemente multiplica el lado derecho y agrupa los términos constante, lineal y cuadrático por separado, obtendrá tres ecuaciones y tres incógnitas en [matemáticas] e, f, g [/ matemáticas] que son iguales a [matemáticas] a, b, [/ math] y [math] c [/ math] respectivamente. Después de eso, se trata de técnicas de eliminación gaussianas estándar.

Answer 4

Queremos demostrar que B es una base de V.

Observe que Dim V = 3 y | B | = 3

Por lo tanto, si B abarca V, es una base.

Para mostrar B abarca V, deje que se dé un miembro de V, digamos rx ^ 2 + sx + t

Necesitamos encontrar los pesos escalares u, v, w de B que nos dan este polinomio.

es decir

Recopilación de términos en x ^ 2, x y 1 respectivamente:

u / 2 – v + w / 2 = r

-u / 2 + w / 2 = s

v = w

Estas ecuaciones son trivialmente solubles.

Otra forma de ver esto es expresar B en términos de 1, x, x ^ 2 y tomar el determinante de esa matriz. Un determinante distinto de cero significa que tiene rango completo, es decir, 3 y, por lo tanto, abarca.

Answer 5

Vi esta pregunta demasiadas veces. La clave es entender qué es una base.

El espacio de todos los polinomios con un grado no mayor que [math] 2 [/ math] sobre los números reales claramente tiene una base [math] \ {1, x, x ^ 2 \} [/ math], porque cada polinomio puede se escribirá como la combinación lineal de tres polinomios básicos [matemática] 1 [/ matemática], [matemática] x [/ matemática] y [matemática] x ^ 2 [/ matemática]. (¿Ves que [matemáticas] 1 = 0 x ^ 2 +0 x + 1 [/ matemáticas] también es un polinomio?)

Para probar lo que quiere, solo necesita demostrar que los tres polinomios [matemáticos] 1, x, x ^ 2 [/ matemático] pueden representarse por esos tres polinomios en su pregunta, más, si [matemático] a_1 p_1 (x ) + a_2 p_2 (x) + a_3 p_3 (x) = 0 [/ math] para [math] a_1, a_2, a_3 [/ math] [math] \ in {\ mathbb R} [/ math], luego [math] ] a_1 = a_2 = a_3 = 0 [/ matemática]. Para la primera tarea, debe resolver tres ecuaciones, para la segunda, debe resolver una ecuación. Cada una de estas ecuaciones es una ecuación cuadrática, por lo tanto, no es razonable que nadie le pida a usted oa mí que resuelva el problema con cada detalle. Sin embargo, las primeras tres ecuaciones no son realmente necesarias; lo que puede garantizarse por el hecho de que la dimensión de este espacio es 3 después de haber realizado la segunda tarea. Por lo tanto, solo necesita resolver el segundo, lo que significa probar que el conjunto de sus tres “vectores” o polinomios son linealmente independientes.

La última ecuación en realidad produce un sistema de ecuaciones lineales, ya que es equivalente a

[matemáticas] 2 a_1 (x ^ 2-x) + a_2 (1-x ^ 2) +2 a_3 (x ^ 2 + x) = 0 [/ matemáticas],

o, [matemáticas] (2 a_1 -a_2 +2 a_3) x ^ 2 + (- 2 a_1 +2 a_3) x + a_2 = 0 [/ matemáticas].

Pero, un polinomio es igual a [matemática] 0 [/ matemática] si y solo si sus tres coeficientes son todos iguales a [matemática] 0 [/ matemática]. Es decir, tenemos

[matemáticas] 2 a_1 -a_2 +2 a_3 = 0 [/ matemáticas],

[matemáticas] – 2 a_1 +2 a_3 = 0 [/ matemáticas],

[matemáticas] a_2 [/ matemáticas] = 0.

Utiliza el tercero [math] a_2 = 0 [/ math], para que el primero sea [math] 2 a_1 +2 a_3 = 0 [/ math], por lo tanto, resuelve el sistema de este último y el segundo, obtendría [matemáticas] a_1 = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] a_3 = 0 [/ matemáticas].

Answer 6

Las otras respuestas funcionan, pero tengo una forma alternativa de demostrarlo. Como V es tridimensional y [matemática] B_1 [/ matemática] tiene 3 elementos, es suficiente mostrar que dim (span ([matemática] B_1 [/ matemática])) = 3, ya que eso implica que [matemática] B_1 [/ matemática] es linealmente independiente y abarca V. Una forma de hacerlo es con matrices. Observe que [math] ax ^ 2 + bx + c [/ math] puede escribirse como un vector (a, b, c). Por lo tanto, podemos escribir [matemáticas] \ frac {x (x-1)} {2} = \ frac {1} {2} x ^ 2- \ frac {1} {2} x [/ matemáticas] como el vector [ math] (\ frac {1} {2}, – \ frac {1} {2}, 0), [/ math] podemos escribir [math] 1-x ^ 2 = -x ^ 2 + 1 [/ math ] como el vector [matemáticas] (- 1,0,1) [/ matemáticas], y podemos escribir [matemáticas] \ frac {x (x + 1)} {2} = \ frac {1} {2} x ^ 2 + \ frac {1} {2} x [/ math] como el vector [math] (\ frac {1} {2}, \ frac {1} {2}, 0). [/ Math] Construya un matriz usando estos tres vectores como sus columnas:

[matemáticas] \ begin {bmatrix} \ frac {1} {2} & -1 & \ frac {1} {2} \\ – \ frac {1} {2} & 0 & \ frac {1} {2} \\ 0 & 1 & 0 \ end {bmatrix} [/ math]

Reduzca completamente esta matriz y debería obtener la matriz de identidad. Esto muestra que el espacio de la columna, que es span ([matemática] B_1 [/ matemática]), es tridimensional y, por lo tanto, [matemática] B_1 [/ matemática] es una base para V.