¿Cuál es la matriz de un Hadamard con una puerta CNOT?

Answer 1

Esta pregunta surgió cuando estaba buscando una respuesta rápida, pero la existente no es correcta. Alan parece estar pensando en una puerta CNOT en un sentido clásico, es decir, una puerta XOR, que de hecho implicaría una medición. Así que derivemos el resultado.

El circuito cuántico que está describiendo es el siguiente:

Comenzando con el estado [math] | 00 \ rangle [/ math], la acción de la puerta Hadamard es producir una mezcla igual de [math] | 00 \ rangle [/ math] y [math] | 10 \ rangle [ / matemáticas] estados. Puede encontrar la matriz requerida considerando su acción en los cuatro estados puros. Sin embargo, simplemente derivaré la matriz formalmente y usaré el estado [math] | 00 \ rangle [/ math] para demostrar que funciona:

[matemáticas] | 00 \ rangle \ mapsto | 00 \ rangle + | 10 \ rangle \ qquad \ text {ie} \ qquad \ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \ end {pmatrix} \ mapsto \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \ end {pmatrix} [/ math]

Tiene toda la razón en que el efecto de una puerta Hadamard aplicada a uno de los dos qubits puede describirse como el producto tensorial de la matriz Hadamard 2 × 2 y la matriz de identidad:

[matemáticas] H = H_1 \ otimes I = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {pmatrix} \ begin {array} {rr} 1 y 1 \\ 1 & -1 \ end {array} \ end {pmatrix} \ otimes \ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix} = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {pmatrix} \ begin {array} {rrrr} 1 y 0 y 1 y 0 \\ 0 y 1 y 0 y 1 \\ 1 y 0 y -1 y 0 \\ 0 y 1 y 0 y -1 \ end {array} \ end {pmatrix} [/ math]

Para probar el comportamiento del Hadamard de dos qubits:

[matemáticas] H | 00 \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {pmatrix} \ begin {array} {rrrr} 1 y 0 y 1 y 0 \\ 0 y 1 y 0 y 1 \\ 1 y 0 y -1 y 0 \\ 0 y 1 y 0 y -1 \ end {array} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \ end {pmatrix} = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \ end {pmatrix} = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ left (| 00 \ rangle + | 10 \ rangle \ right) [/ math]

Esto confirma que la puerta tiene el efecto esperado.

El efecto combinado de todo el circuito se puede encontrar como el producto de las matrices que representan las puertas CNOT y Hadamard que actúan sobre dos qubits.

[matemática] \ begin {align *} U = CNOT \ cdot H & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {pmatrix} 1 y 0 y 0 y 0 \\ 0 y 1 y 0 y 0 \\ 0 y 0 y 0 y 1 \\ 0 y 0 y 1 y 0 \ end {pmatrix} \ cdot \ begin {pmatrix} \ begin {array} {rrrr} 1 y 0 y 1 y 0 \\ 0 y 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \ end {array} \ end {pmatrix} \\ & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {pmatrix} \ begin {array} {rrrr} 1 y 0 y 1 y 0 \\ 0 y 1 y 0 y 1 \\ 0 y 1 y 0 y -1 \\ 1 y 0 y -1 y 0 \ end {array} \ end {pmatrix} \ end {align *} [/ math]

Y su acción probada en el estado [math] | 00 \ rangle [/ math]:

[matemáticas] U | 00 \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {pmatrix} \ begin {array} {rrrr} 1 y 0 y 1 y 0 \\ 0 y 1 y 0 y 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \ end {array} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \ end {pmatrix} = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \ end {pmatrix} = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ left (| 00 \ rangle + | 11 \ rangle \ right) [/ math]

Fuente de LaTeX para diagrama de circuito y ecuaciones usando Qcircuit:

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Answer 2

El CNOT implica una medición y, por lo tanto, no es una operación unitaria. Básicamente, colapsa la función de onda ya que está condicionada a la entrada. Por lo tanto, no existe una matriz unitaria que revele la función de onda resultante, no sin crear una estructura de árbol …