[matemática] W = {(x_1, x_2, 0) ^ T: x1, x2 \ in \ mathbb {R}} [/ math] ¿Es W un subespacio? En caso afirmativo, proporcione una base y la dimensión de W? Dar interpretación geométrica de W.

Answer 1

Hay algo interesante sobre esta pregunta: hay más palabras que símbolos matemáticos. Esto podría sugerir que quizás sea más fácil encontrar una solución en palabras. En los símbolos, un subespacio W (sobre un campo, en este caso [math] \ mathbb {R} [/ math]) solo tiene una propiedad para satisfacer; dado * any * x, y en W, y * any * A, B en [math] \ mathbb {R} [/ math], entonces [math] Ax + By [/ math] también debe estar en W. Sí, eso es cierto como definición; Es un poco difícil de manejar. Quizás una solución de “palabra” sería más fácil.

Entonces, ¿qué es W en palabras, en lugar de símbolos? Es el conjunto de todos los puntos en el espacio tridimensional con cero de coordenadas z; es decir, el plano z = 0. Tenemos la interpretación geométrica primero. También está claro a partir de esa descripción que cualquier “Axe + By” también tendrá una coordenada z cero; W es de hecho un subespacio. Es un plano, por lo que esperaríamos que sea bidimensional, y de hecho dos vectores no colineales distintos de cero funcionarán como base, por lo que también podríamos tomar los obvios [matemáticas] b_1 = (1, 0,0) [/ matemáticas] y [matemáticas] b_2 = (0,1,0) [/ matemáticas].

Esto parecería ser suficiente para esta pregunta; está bien dar una respuesta de “palabra” a una pregunta de “palabra”; por supuesto, si se le pide que presente una prueba, puede volver a las definiciones. Una de las otras pistas aquí de que no se esperan demasiados detalles es que hay muchas suposiciones en la pregunta; por ejemplo, estamos asumiendo que estamos en [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math], y que la suma y multiplicación de vectores son exactamente las operaciones que esperamos. Siempre puedes regresar y obtener pruebas estrictas; pero para esta pregunta, puede citar las respuestas, siempre que pueda “visualizar” primero la interpretación geométrica, el resto sigue sin problemas.

Answer 2

Tienes muchas posibilidades. Puedo darte al menos 2:

-W puede interpretarse como IR ^ 2 porque W puede ser el plano atravesado por 2 vectores de [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math]: [math] \ mathbf {x} = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \ end {bmatrix} [/ math] y [math] \ mathbf {y} = \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \ end {bmatrix} [/ math].

-W también puede representar el conjunto de “puntos ideales” o “puntos en el infinito” en geometría proyectiva. Dado que es un subconjunto de [math] \ mathbb {P} ^ 2 [/ math] (espacio proyectivo de IR ^ 2) también es un subconjunto de IR ^ 3 (luego IR ^ n para n> = 3 en general) . No comprobé si el conjunto de puntos ideales es en realidad un espacio vectorial, pero creo que se puede hacer con bastante facilidad.

Estoy seguro de que puede encontrar otras posibles interpretaciones de W como subespacio.

Answer 3

Parece un problema de tarea. W es un subespacio y la dimensión es 2 con base (1,0,0) y (0,1,0).

En realidad es solo el plano xy.